Sur les inéquations

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Définition : [Inéquation]

Une inéquation est une inégalité dans laquelle intervient un nombre inconnu désigné le plus souvent par une lettre.

Exemple : [ ]

x^{2} + 2 < 4 x + 12

Définition : [Résoudre une inéquation]

Résoudre une inéquation, c'est déterminer toutes les valeurs que peut prendre l'inconnue afin que l'inéquation soit vérifiée. Ces valeurs sont les solutions de l'inéquation.

Tests de valeurs

Exemple : [ ]

On considère l'inéquation

9 x + 3 < x + 6

. La valeur -4 est-elle solution ? La valeur 5 ?
On calcule chacun de deux membres avec la valeur particulière donnée :
Pour la valeur -4, on a :

9 x + 3 = - 33

et

x + 6 = 2

. On a bien

- 33 < 2

donc, -4 est bien solution
Pour la valeur 5, on a :

9 x + 3 = 48

et

x + 6 = 11

. On a

48 > 11

, donc 5 n'est pas solution

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Comment résoudre une inéquation ?

Objectif : Isoler $x$ dans un membre de l'inéquation.
Procédé : Transformer l'inéquation initiale en une inéquation équivalente, c'est-à-dire ayant le même ensemble solution.

Règles

Théorème : [Résolution d'inéquations]

On ne change pas l'ensemble solution d'une inéquation en :

Ajoutant un même nombre (positif ou négatif) à ses deux membres.
Multipliant (ou divisant) par un même nombre strictement positif les deux membres de cette inéquation.
Multipliant (ou divisant) par un même nombre strictement négatif les deux membres de cette inéquation, à condition de changer le sens de l'inéquation.

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Premier exemple

On veut résoudre l'inéquation :

13 x + 9 \geq 3 x - 8

On procède ainsi :

\begin{matrix} 13 x + 9 & \geq & 3 x - 8 \\ 13 x + 9 - 3 x & \geq & 3 x - 8 - 3 x \\ 10 x + 9 & \geq & 8 \\ 10 x + 9 - 9 & \geq & 8 - 9 \\ 10 x & \geq & - 1 \\ \frac{10 x}{10} & \geq & \frac{- 1}{10} \\ x & \geq \end{matrix}

On hachure la partie non solution (ici en rouge), et surligne (ici en vert) la partie solution. Il est important de toujours mentionner la légende. (Certaines personnes hachurent la partie solution, il n'y a pas de règle, il faut préciser à chaque fois.)

Deuxième exemple

On veut résoudre l'inéquation :

5 x + 1 \leq 11 x + 4

On procède ainsi :

\begin{matrix} 5 x + 1 & \leq & 11 x + 4 \\ 5 x + 1 - 11 x & \leq & 11 x + 4 - 11 x \\ - 6 x + 1 & \leq & 4 \\ - 6 x + 1 - 1 & \leq & 4 - 1 \\ - 6 x & \leq & 3 \\ \frac{- 6 x}{- 6} & \geq & \frac{3}{- 6} \\ x & \geq \end{matrix}

On hachure la partie non solution (ici en rouge), et surligne (ici en vert) la partie solution. Il est important de toujours mentionner la légende. (Certaines personnes hachurent la partie solution, il n'y a pas de règle, il faut préciser à chaque fois.)

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Exercice :

Résoudre une inéquation - Méthode

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