Doc Réduction d'endomorphismes

Réduction rationnelle des endomorphismes

Ce document traite de la réduction des endomorphismes sur un corps commutatif

K

tel qu'il a été enseigné à des étudiants de L3 en liaison avec des exercices interactifs.
On fixe un corps commutatif

K

et un espace vectoriel

V

de dimension finie $n$ . On note

{End}_{K} (V)

l'ensemble des endomorphismes de

E

. Il est muni d'une structure d'algèbre (

K

-espace vectoriel + anneau + compatibilité entre les lois).

I Polynômes d'endomorphismes

II Sous-espaces stables

III Sous-espaces cycliques

IV Dualité

V Facteurs invariants et décomposition rationnelle (Frobenius)

VI Diagonalisation et trigonalisation

VII Décomposition de Jordan

VIII Tous les exercices WIMS utilisés

I Polynômes d'endomorphismes
II Sous-espaces stables
III Sous-espaces cycliques
IV Dualité
V Facteurs invariants et décomposition rationnelle (Frobenius)
VI Diagonalisation et trigonalisation
VII Décomposition de Jordan
VIII Tous les exercices WIMS utilisés

I Polynômes d'endomorphismes

Réduction rationnelle des endomorphismes → I Polynômes d'endomorphismes

u

est un endomorphsime de

V

et si

P

est un polynôme à coefficients dans

K

,, on définit

P (u)

comme l'endomorphsime de

V

suivant : si

P = a_{0} + a_{1} x + \dots + a_{i} x^{i} + \dots + a_{n} x^{n}

P (u) = a_{0} Id + a_{1} u + \dots + a_{i} u^{i} + \dots + a_{n} u^{n}

où

u^{i} = u \circ \dots \circ u

(

i

fois).

Lemme

L'application

e_{u} : K [x] \to {End}_{K} (V)

définie par

P \to P (u)

définit un homomorphisme d'algèbres.

Proposition

Le noyau de

e_{u}

est un idéal de

K [x]

non réduit à

{0}

. Note

cela signifie que si

P

Q

appartiennent à

\ker e_{u}

, si

R

appartient à

K [x]

, si

λ \in K

λ P + Q

appartient à

\ker e_{u}

R P \in \ker e_{u}

Démonstration

Le noyau de

e_{u}

est un idéal car si

P

Q

appartiennent à

\ker e_{u}

, si

R

appartient à

K [x]

$(λ P + Q) (u) = λ P (u) + Q (u) = 0$ ;
$(R Q) (u) = R (u) \circ Q (u) = 0$ .

Les

Id

u

, ...,

u^{n^{2}}

sont

n^{2} + 1

éléments de l'espace vectoriel

{End}_{K} (V)

qui est de dimension

n^{2}

. Donc, il existe des éléments

a_{0}

, ... ,

a_{n^{2}}

K

non tous nuls tels que

a_{0} Id + \dots + a_{n^{2}} u^{n^{2}} = 0

. Le polynôme

a_{0} + \dots + a_{n^{2}} x^{n^{2}}

est un polynôme non nul appartenant au noyau de

e_{u}

Tout idéal de

K [x]

est principal, c'est-à-dire de la forme

{Q P avec Q \in K [x]}

pour un polynôme

P \in K [x]

Définition

On appelle polynôme minimal le générateur unitaire de l'idéal

\ker e_{u}

. On le note

μ_{u}

Le polynôme minimal

μ_{u}

est aussi le polynôme unitaire non nul de plus bas degré du noyau de

e_{u}

Définition

On définit le polynôme

χ_{u}

par

χ_{u} = \det (x Id - {Mat}_{ℬ} (u))

où

ℬ

est une base quelconque de

V

et où

{Mat}_{ℬ} (u)

est la matrice de

u

dans la base

ℬ

On déduit de la formule

\det (P A P^{- 1}) = \det (A)

que

χ_{u}

ne dépend pas de la base. Ce polynôme est au signe près ce qui est appelé le polynôme caractéristique de

u

et nous l'appellerons ici le polynôme caractéristique de

u

Exemple

Soit

u

un endomorphisme tel que

u^{k} = 0

u^{k - 1} \neq 0

pour un entier

k > 0

. Alors,

μ_{u} = x^{k}

χ_{u} = x^{n}

I Polynômes d'endomorphismes
II Sous-espaces stables
III Sous-espaces cycliques
IV Dualité
V Facteurs invariants et décomposition rationnelle (Frobenius)
VI Diagonalisation et trigonalisation
VII Décomposition de Jordan
VIII Tous les exercices WIMS utilisés

II Sous-espaces stables

Réduction rationnelle des endomorphismes → II Sous-espaces stables

Définition

Un sous-espace

W

stable par

u

est un sous-espace de

V

tel que

u (W) \subset W

Proposition

Soit

W

un sous-espace de

V

stable par

u

, alors

μ_{u_{∣ W}}

divise

μ_{V}

χ_{u_{∣ W}}

divise

χ_{u, V}

Démonstration

Pour le polynôme caractéristique, on écrit la matrice

M

V

formée d'une base de

W

complétée en une base de

V

. On doit alors calculer

(\begin{matrix} x {Id}_{W} - M_{W} & * \\ 0 & x Id - M_{2} \end{matrix})

où

M_{W}

M_{2}

sont des matrices carrées. Le déterminant se calcule alors par blocs{footnote} Si

A

est une matrice carrée de taille

r

B

une matrice carrée de taille

s

C

une matrice rectangulaire à

r

lignes et

s

colonnes,

\det ((\begin{matrix} A & C \\ 0 & B \end{matrix})) = \det A \det B .

{footnote}

χ_{u, V} = \det (x Id - M) = \det (x {Id}_{W} - M_{W}) \det (x {Id}_{W} - M_{2}) = χ_{u_{∣ W}} \det (x {Id}_{W} - M_{2}) .

Exemple

Si $P$ est un polynôme, $\ker P (u)$ et $Im P (u)$ sont des sous-espaces stables pour $u$ .
Si $D$ est une droite stable, il existe $λ \in K$ tel que $u (a) = λ a$ pour tout $a \in D$ . On a alors $P (u) (a) = P (λ) a$ . En prenant pour $P$ le polynôme minimal $μ_{u}$ , on obtient que $μ_{u} (λ) = 0$ et donc que est une racine du polynôme minimal de $u$ .

Théorème [Théorème des noyaux]

Soient

P_{1}

P_{2}

, ... ,

P_{r}

des polynômes premiers entre eux dans leur ensemble. Alors

\ker P (u) = \oplus_{i = 1}^{r} \ker P_{i} (u) .

De plus, chacun des projecteurs correspondant à cette décomposition en somme directe est un polynôme d'endomorphismes en

u

Note

On dit que

V

est somme directe des sous-espaces vectoriels

V_{i}

si une des conditions équivalentes suivantes est vraie :

tout vecteur de $V$ s'écrit de manière unique sous la forme $v = \sum_{i = 1}^{n} v_{i}$ avec $v_{i} \in V_{i}$ ;
pour tout $j = 1 \dots n$ , $V_{j} \cap (\sum_{i \neq} V_{i}) = {0}$ et tout vecteur de $V$ s'écrit sous la forme $v = \sum_{i = 1}^{n} v_{i}$ (autrement dit $V = \sum_{i = 1}^{n} V_{i}$ ) ;
si $f_{i}$ est une famille d'applications linéaires de $V_{i}$ dans un espace vectoriel $W$ , il existe une unique application linéaire de $V$ dans $W$ coïncidant avec $f_{i}$ sur $V_{i}$ .

En particulier, les projecteurs commutent avec

u

.
Démonstration

Démonstration pour deux polynômes. Si

U_{1}

U_{2}

sont deux polynômes de

K [x]

tels que

U_{1} P_{1} + U_{2} P_{2} = 1

et si

a \in \ker P (u)

, alors

a = b + c

avec

b = U_{1} (u) P_{2} (u) (a) \in \ker P_{1} (u)

c = U_{1} (u) P_{1} (u) (a) \in \ker P_{2} (u)

. Le projecteur de

\ker P (u)

sur

\ker P_{1} (u)

est donc donné par le polynôme d'endomorphisme

(U_{2} P_{2}) (u)

. Il commute donc à

u

Exercice

Endomorphismes et projecteurs

Exercice

Polynômes d'endomorphismes et projecteurs

I Polynômes d'endomorphismes
II Sous-espaces stables
III Sous-espaces cycliques
IV Dualité
V Facteurs invariants et décomposition rationnelle (Frobenius)
VI Diagonalisation et trigonalisation
VII Décomposition de Jordan
VIII Tous les exercices WIMS utilisés

III Sous-espaces cycliques

Réduction rationnelle des endomorphismes → III Sous-espaces cycliques

Soit

a \in V

. Soit

V_{u, a}

le sous-ensemble de

V

formé des vecteurs de la forme

P (u) (a)

pour

P \in K [x]

. C'est un sous-espace vectoriel de

V_{u}

engendré par les

u^{i} (a)

pour

i \in ℕ

.
On note

μ_{u, a}

le polynôme unitaire engendrant l'idéal noyau de l'homomorphisme

P \mapsto P (u) (a)

K [x]

dans

V

. C'est un diviseur de

μ_{u}

Proposition

d

est le degré de

μ_{u, a}

, les vecteurs

a

u (a)

, ...,

u^{d - 1} (a)

forment une base de

V_{u, a}

. Dans cette base, la matrice de

u_{∣ V_{u, a}}

est de la forme (cas où

d = 5

)

(\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & - a_{0} \\ 1 & 0 & 0 & 0 & - a_{1} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & - a_{2} \\ 0 & 0 & 1 & 0 & - a_{3} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - a_{4} \end{matrix})

avec

μ_{u, a} = a_{0} + a_{1} x + \dots + a_{d - 1} x^{d - 1} + x^{d}

Une telle matrice est appelée la matrice compagnon du polynôme

P = a_{0} + a_{1} x + \dots + a_{d - 1} x^{d - 1} + x^{d}

. On la note

C (P)

Définition

On dit que

V

est

u

-cyclique s'il existe

a \in V

tel que

V = V_{u, a}

. Autrement dit,

a

u (a)

, ...,

u^{n - 1} (a)

est un système générateur de

V

Proposition

Le polynôme caractéristique d'une matrice compagnon est égal à son polynôme minimal.

Démonstration

On démontre la propriété par récurrence sur le degré de

P

. Si

P

est de degré 1,

C (P) = \det (x - a_{0}) = x - a_{0}

.
On développe le déterminant de

x Id - C (P)

par rapport à la première colonne, puis le deuxième déterminant obtenu par rapport à la dernière colonne. On obtient

\det (x Id - C (P)) = x \det (x Id - C (Q)) + (- 1)^{d} (- 1)^{d - 2} a_{0} = P

où

Q = a_{1} + \dots + a_{d - 1} x^{d - 2} + x^{d - 1}

∣ \begin{matrix} x & 0 & 0 & 0 & a_{0} \\ - 1 & x & 0 & 0 & a_{1} \\ 0 & - 1 & x & 0 & a_{2} \\ 0 & 0 & - 1 & x & a_{3} \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & x + a_{4} \end{matrix} ∣ = ∣ \begin{matrix} x & 0 & 0 & a_{1} \\ - 1 & x & 0 & a_{2} \\ 0 & - 1 & x & a_{3} \\ 0 & 0 & - 1 & x + a_{4} \end{matrix} ∣ + ∣ \begin{matrix} 0 & 0 & 0 & a_{0} \\ - 1 & x & 0 & a_{2} \\ 0 & - 1 & x & a_{3} \\ 0 & 0 & - 1 & x + a_{4} \end{matrix} ∣

ce qui est égal à

x Q + (- 1)^{5} (- 1)^{3} a_{0} = P

Les deux lemmes suivants serviront à la démonstration de la proposition qui les suit.

Lemme

Soit

a \in V

et soit

P = μ_{u, a}

. On suppose que

P = Q R

avec

Q

unitaire. Alors, si

b = Q (u) (a)

μ_{u, b} = R

Démonstration

On a

R (u) (b) = P (u) (a) = 0

. Donc

μ_{u, b}

divise

R

. Si

S (u) (b) = 0

, on a

(Q S) (u) (a) = 0

, donc

P = Q R

divise

Q S

R

divise

S

. En appliquant à

S = μ_{u, b}

, on en déduit que

R

divise

μ_{u, b}

et finalement que

R = μ_{u, b}

Lemme

Soient

a

b

deux vecteurs de

V

. Alors

μ_{u, a + b} = μ_{u, a} μ_{u, b}

μ_{u, a}

μ_{u, b}

sont premiers entre eux.

Démonstration

Posons

P = μ_{u, a}

Q = μ_{u, b}

. Comme

(P Q) (u) (a + b) = 0

μ_{u, a + b}

divise

P Q

. Soit

R

tel que

R (u) (a + b) = 0

. Alors,

0 = P (u) R (u) (a + b) = P (u) R (u) (b) .

Donc,

Q

divise

P R

. Or

Q

P

étant premiers entre eux,

Q

divise

R

par le lemme de Gauss. De même,

P

divise

R

. donc

P Q

divise

R

puisque

P

Q

sont premiers entre eux. En prenant

R = μ_{u, a + b}

, on en déduit le résultat.

On montre par récurrence que si

a_{1}

, ...

a_{r}

sont des vecteurs et que les polynômes

μ_{u, a_{i}}

sont premiers deux à deux, alors

μ_{u, a_{1} + \dots + a_{r}} = μ_{u, a_{1}} \dots μ_{u, a_{r}} .

Proposition

Soit

u

un endomorphisme de

V

$μ_{u} = {ppcm}_{a \in V} (μ_{u, a})$
Il existe un vecteur $a \in V$ tel que $μ_{u, a} = μ_{u}$ . Plus précisément, si $ℬ$ est une base donnée, $a$ peut être choisi dans cette base.

La proposition précédente est l'analogue des assertions suivantes dans un groupe abélien fini

A

: l'exposant de

A

est égal au ppcm des ordres des éléments de

A

et il existe un élément de

A

dont l'ordre égal à l'exposant de de

A

.
Démonstration

Le polynôme $μ_{u, a}$ divise $μ_{u}$ pour tout vecteur $a$ , donc ${ppcm}_{a \in V} (μ_{u, a})$ divise $μ_{u}$ . Réciproquement, prenons une base $(e_{1}, \dots, e_{n})$ de $V$ . Soit $R$ le ppcm des $μ_{u, e_{i}}$ . Si $a \in V$ , $a = \sum_{i = 1}^{n} α_{i} e_{i}$ , on a
$R (u) (a) = \sum_{i = 1}^{n} α_{i} R (u) (e_{i}) = 0 .$
Donc $μ_{u}$ divise $R$ .
Ecrivons la décomposition en éléments irréductibles de $μ_{u}$ :
$μ_{u} = \prod_{i} P_{i}^{α_{i}}$
avec les $P_{i}$ premiers entre eux deux à deux. On a $V = \oplus V_{i}$ avec $V_{i} = \ker (P_{i}^{α_{i}} (u)$ . Le polynôme minimal de la restriction de $u$ à $V_{i}$ est un diviseur $P_{i}^{β_{i}}$ de $P_{i}^{α_{i}}$ . Le polynôme minimal de $V = \oplus V_{i}$ est alors le produit des $P_{i}^{β_{i}}$ , mais il vaut aussi $\prod_{i} P_{i}^{α_{i}}$ , ce qui prouve qu'en fait $β_{i} = α_{i}$ . Sur chacun des sous-espaces $V_{i}$ (stables par $u$ ), prenons une base $ℬ_{i}$ . Le ppcm des $μ_{u_{∣ V_{i}}, b}$ pour $b \in ℬ_{i}$ est égal à $P_{i}^{α_{i}}$ . Il existe donc un élément $a_{i}$ de $ℬ_{i}$ telle que $μ_{u_{∣ V_{i}}, a_{i}} = P_{i}^{α_{i}}$ . Le vecteur $a = \sum_{i} a_{i}$ vérifie alors $μ_{u, a} = \prod_{i} P_{i}^{α_{i}}$ , ce qui démontre la proposition.

I Polynômes d'endomorphismes
II Sous-espaces stables
III Sous-espaces cycliques
IV Dualité
V Facteurs invariants et décomposition rationnelle (Frobenius)
VI Diagonalisation et trigonalisation
VII Décomposition de Jordan
VIII Tous les exercices WIMS utilisés

IV Dualité

Réduction rationnelle des endomorphismes → IV Dualité

IV-1 Survol des propriétés de la dualité

IV-2 Dualité et sous-espace stable

IV-3 Exercices

I Polynômes d'endomorphismes
II Sous-espaces stables
III Sous-espaces cycliques
IV Dualité
V Facteurs invariants et décomposition rationnelle (Frobenius)
VI Diagonalisation et trigonalisation
VII Décomposition de Jordan
VIII Tous les exercices WIMS utilisés

IV-1 Survol des propriétés de la dualité

Réduction rationnelle des endomorphismes → IV Dualité → IV-1 Survol des propriétés de la dualité

Définition

L'espace dual

V^{*}

d'un espace vectoriel

V

est l'espace vectoriel des formes linéaires sur

V

, c'est-à-dire l'espace vectoriel des applications linéaires de

V

dans

K

ℬ = (e_{1}, \dots, e_{n})

est une base de

V

, les formes coordonnées sont les formes linéaires

e_{j}^{*} : \sum_{i = 1}^{n} x_{i} e_{i} \mapsto x_{j}

Proposition

Soit

ℬ = (e_{1}, \dots, e_{n})

une base de

V

. Il existe une unique base

ℬ^{*} = (e_{1}^{*}, \dots, e_{n}^{*})

V

(appelée base duale) telle que

e_{i}^{*} (e_{j}) = 1

i = j

0

sinon.

Proposition

L'application

i_{V} : V \to V^{* *}

donnée par

a \mapsto (f \mapsto f (a))

est une application linéaire injective, bijective car

V

est supposé de dimension finie.

Définition

Soit

u \in {End}_{K} (V)

, il existe un unique endomorphisme

u^{}

V^{}

tel que

u^{*} (f) = f \circ u

pour toute forme linéaire

f

Proposition

On a pour

u

v

appartenant à

{End}_{K} (V)

λ \in K

(λ u)^{*} = λ u^{*}

(u + v)^{*} = u^{*} + v^{*}

(u \circ v)^{*} = v^{*} \circ u^{*} .

Proposition

On a

(u^{*})^{*} \circ i_{V} = i_{V} \circ u

. Autrement dit, si l'on identifie

V^{* *}

avec

V

via

i_{V}

u^{* *}

s'identifie à

u

\begin{matrix} V^{* *} & \overset{u^{* *}}{\to} & V^{* *} \\ ↑ i_{V} & ↑ i_{V} \\ V & \overset{u}{\to} & V \end{matrix}

Démonstration

Soit

a \in V

. Alors,

i_{V} \circ u (a) = i_{V} (u (a))

est un élément du dual de

V^{}

. Si

λ \in V^{*}

, on a

i_{V} (u (a)) (λ) = λ (u (a)) = λ \circ u (a) = u^{*} (λ) (a)

(u^{*})^{*} (i_{V} (a) (λ) = i_{V} (a) (u^{*} (λ)) = u^{*} (λ) (a) .

Donc

i_{V} (u (a)) = (u^{*})^{*} \circ i_{V} (a)

pour tout

a \in V

i_{V} \circ u = u^{*}

^ i_V ).

Une notation agréable pour noter la dualité est d'écrire

⟨ a, λ ⟩_{V} = λ (a) .

Réécrivez la démonstration précédente avec ces notations.

IV-1 Survol des propriétés de la dualité
IV-2 Dualité et sous-espace stable
IV-3 Exercices

IV-2 Dualité et sous-espace stable

Réduction rationnelle des endomorphismes → IV Dualité → IV-2 Dualité et sous-espace stable

Définition

Soit

W

un sous-espace de

V

. On appelle orthogonal de

W

et on note

W^{o}

le sous-espace de

V^{*}

formé des formes linéaires lambda

nulles sur

W

Proposition

Soit

u

un endomorphisme de

V

W

un sous-espace de

V

, alors son orthogonal

W^{o}

est stable par

u^{}

Démonstration

Soit

une forme linéaire appartenant à

W^{o}

. Pour

b \in W

u^{*} (λ) (b) = λ (u (b)) = 0

puisque

u (b) \in W

(

W

est stable par

u

). Donc,

u^{*} (λ)

est nul sur

W

et appartient donc à

W^{o}

Proposition

L'application

W^{o} \to ℒ (V / W, K)

donnée par

λ \mapsto \tilde{λ}

avec

\tilde{λ} (a mod W) = λ (a)

est bien définie et est un isomorphisme.

Démonstration

D'abord

\tilde{λ}

est bien définie car

λ (a + w) = λ (a) + λ (w) = 0

. Montrons l'injectivité : si

\tilde{λ} (a mod W) = 0

pour tout

a \in V

, alors

λ (a) = 0

aussi. Montrons la surjectivité : Soit

\tilde{λ}

une forme linéaire de

V / W

dans

K

. Posons

λ (a) = \tilde{λ} (a mod W)

. Alors, on a évidemment

λ (a) = 0

pour

a \in W

et donc

appartient à

W^{o}

Proposition

On a

\dim W^{o} + \dim W = \dim V

Démonstration

On a

\dim W^{o} = \dim ℒ (V / W, K) = \dim (V / W) = \dim (V) - \dim W .

Pour démontrer la dernière égalité, choisissons un supplémentaire

W'

W

dans

V

, la projection

W' \to V / W

est une application linéaire,

injective car $W' \cap W = {0}$ ;
surjective car tout vecteur $v$ est la somme d'un vecteur $w'$ de $W'$ et d'un vecteur $w$ de $W$ ;

donc un isomorphisme entre

W'

V / W

. D'où

\dim (V / W) = \dim (V) - \dim W .

IV-1 Survol des propriétés de la dualité
IV-2 Dualité et sous-espace stable
IV-3 Exercices

IV-3 Exercices

Réduction rationnelle des endomorphismes → IV Dualité → IV-3 Exercices

Exercice

Soient

F

G

deux sous-espaces vectoriels de

V

tels que

V = F \oplus G

. Montrer que

V^{*} = F^{o} \oplus G^{o}

Exercice

Soient

V

W

deux espaces de dimension finie et

f

une application linéaire de

V

dans

W

Montrer que $Im (^{t} f) = (\ker f)^{o}$ et que $\ker (^{t} f) = (Im f)^{o}$ Solution
Rappelons que $^{t} f$ est l'application linéaire de $W^{}$ dans $V^{}$ défini par $^{t} f (λ) (v) = λ (f (v))$ avec $λ \in W^{*}$ et $v \in V$ ou en utilisant la forme bilinéaire $V \times V^{*} \to K$ définie par $< v, λ >_{V} = λ (v)$ ,
$⟨ f (v), λ ⟩_{W} = ⟨ v,^{t} f (λ) ⟩_{V} .$
On a alors les équivalences
$λ \in Im (^{t} f) \Leftrightarrow \exists λ' \in V^{*} ∣^{t} f (λ') = λ \Leftrightarrow \exists λ' \in V^{*} ∣ \forall v \in V ∣ λ' (f (v)) = λ (v)$
Donc si $λ \in Im (^{t} f)$ et si $v \in \ker f$ , on a $λ (v) = 0$ , donc appartient à l'orthogonal $(\ker f)^{o}$ de $\ker f$ . On obtient donc l'inclusion $Im (^{t} f) \subset (\ker f)^{o}$ .
Réciproquement, on peut invoquer les dimensions. On peut aussi le faire ``explicitement'' : soit $λ \in (\ker f)^{o}$ , on choisit un supplémentaire $W_{1}$ de $Im f$ dans $W$ . On définit $λ' (w) = λ (v)$ si $w = f (v)$ et $λ' (w) = 0$ si $w' \in W_{1}$ . Cette définition ne dépend pas du choix de $v$ grâce à la propriété que $λ (v_{1}) = 0$ si $v_{1} \in \ker f$ ) et définit une application linéaire. On a bien $^{t} f (λ') = λ$ .
...
Montrer que $f$ est surjective si et seulement si $^{t} f$ est injective et que $f$ est injective si et seulement si $^{t} f$ est surjective Solution
Cela se déduit de la question précédente :
$f$ est surjective $\Leftrightarrow (\ker^{t} f) = {0} \Leftrightarrow^{t} f$ est injective.

Exercice

Soit

f

une application linéaire de

V

dans

W

. Soit

X

un sous-espace de

V

X^{o}

son orthogonal dans

V^{}

. On note

A = {λ \in W^{*},^{t} f (λ) \in X^{o}}

Montrer que $A$ est l'orthogonal de $f (X)$ dans $W^{}$ .
Solution
$λ \in A \Leftrightarrow \forall v \in X,^{t} f (λ) (v) = 0 \Leftrightarrow \forall v \in X, λ (f (v)) = 0 λ \in f (V)^{o}$ .
Si $X$ et $Y$ sont deux sous-espaces supplémentaires de $V$ , montrer que $X^{o}$ et $Y^{o}$ sont supplémentaires dans $V^{}$ .
Solution
Soit $λ \in X^{o} \cap Y^{o}$ . Alors, pour tout $x \in X$ , pour tout $y \in Y$ , $λ (x) = 0$ et $λ (y) = 0$ . Donc, comme $X$ et $Y$ sont supplémentaires, $λ (v) = 0$ pour tout $v \in V$ . Donc $λ = 0$ .
On peut ensuite invoquer les dimensions. Ou : soit $λ \in V^{*}$ . On définit $λ_{1}$ comme l'unique forme linéaire coincidant aec sur $X$ et valant 0 sur $Y$ et $λ_{2}$ comme l'unique forme linéaire coincidant avec sur $Y$ et valant 0 sur $X$ . On a bien $λ = λ_{1} + λ_{2}$ . De plus, $λ_{1} \in Y^{o}$ , puisqu'elle est nulle sur $Y$ et de même $λ_{2} \in X^{o}$ .

IV-1 Survol des propriétés de la dualité
IV-2 Dualité et sous-espace stable
IV-3 Exercices

V Facteurs invariants et décomposition rationnelle (Frobenius)

Réduction rationnelle des endomorphismes → V Facteurs invariants et décomposition rationnelle (Frobenius)

V-1 Le théorème des facteurs invariants

V-2 Quelques conséquences

V-3 Cas des dimensions 2, 3 et 4

V-4 Des exercices corrigés

V-5 S'exercer : Invariants, classes de similitude.

I Polynômes d'endomorphismes
II Sous-espaces stables
III Sous-espaces cycliques
IV Dualité
V Facteurs invariants et décomposition rationnelle (Frobenius)
VI Diagonalisation et trigonalisation
VII Décomposition de Jordan
VIII Tous les exercices WIMS utilisés

V-1 Le théorème des facteurs invariants

Réduction rationnelle des endomorphismes → V Facteurs invariants et décomposition rationnelle (Frobenius) → V-1 Le théorème des facteurs invariants

Théorème [Frobenius]

Soit

V

un espace vectoriel de dimension finie et

u

un endomorphisme de

V

. Il existe

r \geq 1

et des sous-espaces

u

-cycliques

V_{i}

non nuls de polynômes minimaux unitaires

μ_{i}

tels que

$μ_{r} ∣ μ_{r - 1} ∣ \dots μ_{2} ∣ μ_{1}$
$V = \oplus_{i = 1}^{r} V_{i}$ .

De plus la suite des polynômes

(μ_{1}, \dots, μ_{r})

est unique.

Donnons déjà quelques conséquences :

Le polynôme minimal de $u$ est donné par $μ_{1}$ : $μ_{u} = μ_{1}$ .
Le polynôme caractéristique est le produit des $μ_{i}$ : $χ_{u} = \prod_{i = 1}^{r} μ_{i}$ .
Le polynôme $χ_{u}$ est un multiple de $μ_{u}$ ; c'est le théorème de Cayley-Hamilton : $χ_{u} (u) = 0$ .
Les polynômes $χ_{u}$ et $μ_{u}$ ont mêmes facteurs irréductibles, ce qui se traduit par
$μ ∣ χ ∣ μ^{n} .$

Démonstration [ Existence ]

Par récurrence :

On choisit un vecteur $a$ tel que $μ_{u, a} = μ_{u}$ .
On cherche un supplémentaire $W'$ de $W = V_{u, a}$ stable par $u$ .
On applique l'hypothèse de récurrence à $W'$ .

Cherchons un sous-espace cyclique dans le dual

V^{}

V

. Pour cela, prenons une forme linéaire varphi

qui ne s'annule pas sur

W

et telle que

μ_{^{t} u, φ}

soit égal à

μ_{u} = μ_{u, a}

: par exemple, prenons varphi

telle que

φ (a) = 0

\dots

φ (u^{d - 2} (a)) = 0

φ (u^{d - 1} (a)) = 1

avec

d = ° μ_{u, a} = \dim W

. Cela est possible car les vecteurs

a, \dots, u^{d - 2} (a), u^{d - 1} (a)

forment un système libre. {footnote} Trouver varphi

revient à résoudre un système linéaire. {footnote} Calculons

μ_{^{t} u, φ}

.
Si

P \in K [x]

, on a

P (^{t} u) (φ) = φ \circ P (u)

P (^{t} u) (φ) (b) = φ \circ P (u) (b) = φ (P (u) (b))

. Remarquons que si

P = a_{α} x^{α} + \dots + α_{0}

avec

a_{α} \neq 0

α < d

, on a

φ (P (u) (u^{d - 1 - α} (a))) = φ (a_{α} u^{d - 1} (a) + \dots + α_{0} u^{d - 1 - α} (a)) = a_{α} \neq 0

et donc

P (^{t} u) (φ) (u^{d - 1 - α} (a))) = \neq 0 .

Donc pour

P

de degré strictement inférieur à

d

P (^{t} u)

est non nul. Donc

° μ_{^{t} u, φ} \geq ° μ_{u, a} = ° μ_{u}

. D'autre part,

μ_{^{t} u, φ}

est un diviseur de

μ_{^{t} u} = μ_{u}

. Tout cela implique que

μ_{^{t} u, φ} = μ_{u}

.
On a ainsi trouvé un sous-espace cyclique

Y

pour

^{t} u

, qui est stable par

^{t} u

de polynôme minimal

μ_{u}

.
Montrons que

W

est d'intersection nulle avec l'orthogonal

Y^{0}

Y

.
Soit

b

un élément de

W

. Il est de la forme

b = P (u) (a)

avec

° P < d

P = 0

. Supposons

P

non nul. Pour tout polynôme

Q

(QP) (^{t} u) (φ) (a) = φ \circ (QP) (u) (a) = φ \circ Q (u) \circ P (u) (a) = Q (^{t} u) (φ) (P (u) (a)) = Q (^{t} u) (φ) (b) .

Supposons de plus que

b \in Y^{0}

. Alors, comme

Q (^{t} u) (φ)

est un élément de

Y

, on a

(QP) (^{t} u) (φ) (a) = 0

pour tout polynôme

Q

. Prenons

Q = x^{d - 1 - ° P}

. Dans ce cas,

(P x^{d - 1 - ° P}) (^{t} u) (φ) (a)

est non nul si

P

est non nul (c'est le coefficient dominant de

P

). Ce qui n'est pas possible. Donc

P = 0

ainsi que

b

.
Une fois démontré que

W \cap Y^{0} = 0

, la comparaison des dimensions implique que

V = W \oplus Y^{0}

. Et le sous-espace

Y^{0}

est stable par

u

Montrons maintenant l'unicité des éléments

μ_{i}

. Commençons par un lemme simple mais important.

Lemme

Supposons que

V

est somme directe de

W_{1} \oplus W_{2}

où

W_{1}

W_{2}

sont des sous-espaces stables par

u

. Alors,

u (V) = u (W_{1}) \oplus u (W_{2})

Attention, cela est faux sans la condition de stabilité. Par exemple, soit

u

de matrice

(\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix})

dans une base

(e_{1}, e_{2})

. Prenons

W = K e_{1}

W_{2} = {Ke}_{2}

. On a

u (W_{1}) = u (W_{2})

.
Démonstration

Il est toujours vrai que

u (V) = u (W_{1}) + u (W_{2})

. Calculons l'intersection de

u (W_{1})

et de

u (W_{2})

. On

u (W_{1}) \cap u (W_{2}) \subset W_{1} \cap W_{2} = {0} .

Démonstration [ Unicité ]

Supposons qu'on ait deux décompositions

V = V_{1} \oplus \dots \oplus V_{r} = V_{1}' \oplus \dots \oplus V_{s}'

d'invariants respectifs

μ_{1}, \dots, μ_{r}

μ'_{1}, \dots, μ'_{s}

. On a

μ_{1} = μ_{1}'

puisqu'ils sont tous deux égaux au polynôme minimal de

u

. Supposons qu'on ait montré que jusqu'à l'indice

j - 1

μ_{i} = μ_{i}'

. On désire montrer que

μ_{j} = μ_{j}'

. On applique l'endomorphisme

μ_{j} (u)

$μ_{j} (u) (V) = μ_{j} (u) (V_{1})$		$\dots$		$μ_{j} (u) (V_{j - 1})$		$μ_{j} (u) (V_{j}) \oplus \dots$
$μ_{j} (u) (V) = μ_{j} (u) (V_{1}')$		$\dots$		$μ_{j} (u) (V_{j - 1}')$		$μ_{j} (u) (V_{j}') \oplus \dots$

(la somme reste directe d'après le lemme). Or

μ_{j} (u)

annule

V_{k}

pour

k \geq j

. Donc

$μ_{j} (u) (V) = μ_{j} (u) (V_{1})$		$\dots$		$μ_{j} (u) (V_{j - 1})$
$μ_{j} (u) (V) = μ_{j} (u) (V_{1}')$		$\dots$		$μ_{j} (u) (V_{j - 1}')$		$μ_{j} (u) (V_{j}')$	$\dots$

Or les restrictions de

u

V_{i}

et à

V_{i'}

sont semblables pour

i < j

(même matrice dans des bases différentes). Il en est de même pour la restriction de

u

μ_{j} (u) (V_{i})

et à

μ_{j} (u) (V_{i}')

pour

i < j

. On en déduit que

μ_{j} (u) (V_{j}') = 0

et donc que

μ_{j}

est un multiple de

μ_{j}'

. En échangeant les rôles,

μ_{j}'

est aussi un multiple de

μ_{j}

et donc que

μ_{j} = μ_{j}'

Remarque

L'existence d'un supplémentaire stable par

u

d'un sous-espace vectoriel

W

stable par

u

n'est pas toujours vrai. Par exemple, prenons l'endomorphisme

u

de matrice

(\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix})

dans une base

(e_{1}, e_{2})

. Le sous-espace

W = ⟨ e_{1} ⟩

est stable par

u

mais ne possède pas de supplémentaire stable par

u

. Sinon,

u

serait diagonalisable.

V-1 Le théorème des facteurs invariants
V-2 Quelques conséquences
V-3 Cas des dimensions 2
V-4 Des exercices corrigés
V-5 S'exercer : Invariants

V-2 Quelques conséquences

Réduction rationnelle des endomorphismes → V Facteurs invariants et décomposition rationnelle (Frobenius) → V-2 Quelques conséquences

Proposition

Les endomorphismes

u

^{t} u

ont même matrice dans des bases convenables.

Démonstration

Reprenons la démonstration du théorème.

Les restrictions de $u$ à $W$ et de $u^{}$ à $Y$ ont même matrice dans les bases respectives $(a, u (a), \dots u^{d - 1} (a))$ et $(φ, u (φ), \dots {u^{*}}^{d - 1} (φ))$ .
$W^{o}$ s'identifie au dual de $Y^{o}$ grâce à l'application linéaire $λ \mapsto λ_{Y^{o}}$ qui est une bijection (injection + même dimension). On a donc $V = W \oplus Y^{o}$ , $V^{*} = Y \oplus W^{o}$ et $(u_{∣ Y^{o}})^{*} = (u *_{∣ W^{o}})$ . On raisonne alors par induction.

Définition

Deux endomorphismes

u

v

resp de

V

et de

V'

sont dits semblables s'il existe un isomorphsime

f

V

dans

V'

tel que

v = f u f^{- 1}

Théorème

Deux endomorphismes de

V

sont semblables si et seulement s'ils ont mêmes invariants (que l'on appelle pour cette raison, invariants de similitude).

Démonstration

Il suffit de remarquer que deux endomorphismes cycliques de même polynôme minimal sont semblables puisqu'ayant même matrice dans des bases convenables.

Proposition [Réduction de Frobenius d'une matrice]

Toute matrice est semblable à une matrice du type

diag (C (μ_{1}), . . ., C (μ_{r}))

avec

μ_{r} ∣ \dots ∣ μ_{1}

. Et deux telles matrices sont semblables si et seulement si elles sont égales.

Réécrivons en proposition la caractérisation suivante d'un endomorphisme cyclique.

Proposition

L'espace vectoriel

V

est

u

-cyclique si et seulement si le polynôme minimal et le polynôme caractéristique de

u

sont égaux (ou ont même degré).

Démonstration

Nous avons déjà vu que si

V

est

u

-cyclique, on a

χ_{u} = μ_{u}

. Réciproquement, supposons que

χ_{u} = μ_{u}

. Il existe un vecteur

a

tel que

μ_{u, a}

est égal à

μ_{u}

. La dimension de

V_{u, a}

est égale au degré de

. La dimension de

V

est égale au degré de

χ_{u}

. Donc

\dim V_{u, a} = \dim V

V = V_{u, a}

Proposition [Cas particulier des endomorphismes nilpotents]

Soit

u

un endomorphisme nilpotent, c'est-à-dire de polynôme minimal égal à une puissance de

x

. Il existe des entiers (uniques)

d_{r} \leq d_{r - 1} \leq d_{1}

et une base tels que la matrice de

u

dans cette base doit de la forme

diag (C (x_{1}^{d}), . . ., C (x_{r}^{d})) .

De plus

d_{1} + \dots + d_{r} = n

avec

n = \dim V

La matrice

C (x^{d})

sera aussi notée

J_{0} (d)

, car c'est un cas particulier d'un bloc de Jordan.

La suite des

(d_{1}, \dots, d_{r})

forme une partition de

d

. On lui associe son diagramme de Young : la première ligne est formée de

d_{1}

cases, la seconde de

d_{2}

cases, ....
Le diagramme de Young représenté est associé à un espace vectoriel de dimension 23 somme directe de 7 sous-espaces

u

-cycliques. Ses invariants de similitude sont

x^{5}, x^{5}, x^{4}, x^{3}, x^{3}, x^{2}, x^{1}

V-1 Le théorème des facteurs invariants
V-2 Quelques conséquences
V-3 Cas des dimensions 2
V-4 Des exercices corrigés
V-5 S'exercer : Invariants

V-3 Cas des dimensions 2, 3 et 4

Réduction rationnelle des endomorphismes → V Facteurs invariants et décomposition rationnelle (Frobenius) → V-3 Cas des dimensions 2, 3 et 4

Dans le cas de dimension 2 et 3, deux matrices sont semblables si et seulement si elles ont même polynôme caractéristique et même polynôme minimal.

$\dim V = 2$
1. $° μ = 1$ : nécessairement $χ = μ^{2}$ , la suite des invariants est $(μ, μ)$ .
2. $° μ = 2$ : nécessairement $χ = μ$ , la suite des invariants est $(μ)$ .
$\dim V = 3$
1. $° μ = 1$ : nécessairement $χ = μ^{3}$ , la s.ite des invariants est $(μ, μ, μ)$ .
2. $° μ = 2$ : nécessairement, $μ = μ_{1} μ_{2}$ avec $μ_{1}$ et $μ_{2}$ de degré 1 (il n'est pas possible que soit irréductible, car serait de degré 2 ou supérieur à 4 ...); on a $χ = μ_{1}^{2} μ_{2}$ , la suite des invariants est $(μ_{1} μ_{2}, μ_{1})$ .
3. $° μ = 3$ : nécessairement, $χ = μ$ , la suite des invariants est $(μ)$ .

Exercice

Dans le cas de dimension 4, trouver tous les types d'invariants de similitude possible selon les degrés et la décomposition en facteurs irréductibles du polynôme minimal. Vérifier que connaître le polynôme caractéristique et le polynôme minimal ne suffit pas à connaître la suite des invariants, donc la classe de similitude.
Solution

$° μ = 1$ : nécessairement $χ = μ^{4}$ , la suite des invariants est $(μ, μ, μ, μ)$ .
$° μ = 2$ et est irréductible : nécessairement $χ = μ^{2}$ , la suite des invariants est $(μ, μ)$ .
$° μ = 2$ et $μ = μ_{1} μ_{2}$ avec $μ_{1} \neq μ_{2}$ n'est pas irréductible :
- soit $χ = μ^{2}$ et la suite des invariants est $(μ, μ)$ ;
- soit $χ = μ_{1}^{3} μ_{2}$ et la suite des invariants est $(μ, μ_{1}, μ_{1})$ .
$° μ = 2$ et $μ = μ_{1}^{2}$ :nécessairement $χ = μ^{2} = μ_{1}^{4}$ . Deux possibilités pour la suite des invariants :
- soit la suite des invariants est $(μ^{2}, μ^{2})$ ;
- soit la suite des invariants est $(μ^{2}, μ, μ)$ .
$° μ = 3$ et est irréductible : ce n'est pas possible.
$° μ = 3$ et $μ = μ_{1} μ_{2}$ avec $° μ_{1} = 1$ : nécessairement $χ = μ_{1}^{2} μ_{2}$ , la suite des invariants est $(μ_{1} μ_{2}, μ_{1})$ .
$° μ = 3$ et $μ = μ_{1} μ_{2} μ_{3}$ avec $° μ_{i} = 1$ : nécessairement $χ = μ μ_{1}$ , la suite des invariants est $(μ, μ_{1})$ .
$° μ = 4$ : nécessairement $χ = μ$ , la suite des invariants est $(μ)$ .

V-1 Le théorème des facteurs invariants
V-2 Quelques conséquences
V-3 Cas des dimensions 2
V-4 Des exercices corrigés
V-5 S'exercer : Invariants

V-4 Des exercices corrigés

Réduction rationnelle des endomorphismes → V Facteurs invariants et décomposition rationnelle (Frobenius) → V-4 Des exercices corrigés

Exercice

Soient

P_{1}

P_{2}

P_{3}

trois polynômes irréductibles distincts sur un corps

K

Combien y a-t-il de classes de similitude de matrices à coefficients dans $K$ ayant comme polynôme minimal $P_{1} P_{2}^{2} P_{3}^{2}$ et comme polynôme caractéristique $P_{1}^{3} P_{2}^{3} P_{3}^{4}$ ? Pour chacune d'elles, donner les invariants de similitude.
Solution
Les classes de similitude sont en bijection avec les suites de polynômes $(μ_{1}, μ_{2}, . . .)$ avec $μ_{i} ∣ μ_{i - 1}$ , $μ_{1} = P_{1} P_{2}^{2} P_{3}^{2}$ et $\prod μ_{i} = (P_{1} P_{2} P_{3})^{3}$ . Elles sont nécessairement de la forme
$(P_{1} P_{2}^{2} P_{3}, P_{1} P_{2} P_{3}^{r_{1}}, P_{1} P_{3}^{r_{2}})$
avec $r_{2} \leq r_{1} \leq 2$ et $r_{1} + r_{2} + 1 = 3$ . D'où deux solutions :
$(P_{1} P_{2}^{2} P_{3}, P_{1} P_{2} P_{3}, P_{1} P_{3})$

$(P_{1} P_{2}^{2} P_{3}, P_{1} P_{2} P_{3}^{2}, P_{1})$
On prend $K = ℚ$ et $P_{1} = x^{2} + 1$ , $P_{2} = x + 1$ et $P_{3} = x - 1$ . Parmi les classes de similitudes précédentes, quelles sont celles pour lesquelles la dimension de l'espace propre associé à la valeur propre 1 est supérieure ou égale à 3 ? Donner la matrice de Frobenius associée à une telle décomposition de Frobenius il ne doit donc apparaître que des matrices compagnons.
Solution
La condition impose que l'on est dans le premier cas. En effet, l'espace propre de $u$ pour la valeur propre 1 restreint à chacun des sous-espaces cycliques est de dimension 1 si $P_{3}$ divise le polynôme minimal de ce sous-espace cyclique et de dimension 0 sinon.
$P_{1} P_{2}^{2} P_{3} = (x^{2} + 1) (x + 1)^{2} (x - 1) = (x^{2} + 1) (x + 1)^{2} (x - 1) = (x^{4} - 1) (x + 1) = x^{5} + x^{4} - x - 1$ , $P_{1} P_{2} P_{3} = x^{4} - 1$ $P_{1} P_{3} = x^{3} - x^{2} + x + 1$ . La matrice dans une base adaptée est alors
$(\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix})$

Exercice

Soit

V

un espace vectoriel de dimension finie et

u

un endomorphisme de

V

. On suppose que

V = \oplus_{i = 1}^{4} V_{i}

où les sous-espaces vectoriels

V_{i}

sont des sous-espaces stables par

u

, cycliques pour

u

de polynôme minimal respectif

x

x

x (x - 1)

(x - 1)^{2}

. Quelle est la dimension de

V

? Donner les invariants de similitude de

V

et écrire une décomposition de Frobenius de

u

.
Solution

La dimension d'un espace cyclique est égale au degré de son polynôme minimal, puisque les polynômes minimal et caractéristique sont alors égaux. Donc

V

est de dimension 6. Soit

W_{1} = V_{2} \oplus V_{4}

. Comme les polynômes minimaux de

V_{2}

V_{4}

sont premiers entre eux,

W_{1}

est un espace cyclique de polynôme minimal

(x - 1)^{2} x

. On a donc

V = W_{1} \oplus V_{3} \oplus V_{1}

avec

μ_{V_{3}} ∣ μ_{V_{3}} ∣ μ_{W_{1}}

. Par unicité des invariants de similitude, ces invariants sont donc (

x (x - 1)^{2}

x (x - 1)

x

Exercice

Soit

V

un espace vectoriel de dimension finie et

u

un endomorphisme de

V

. On suppose que le polynôme caractéristique de

u

est

\pm (x - 2)^{4} (x + 3)

et que le noyau de

u - 2 Id

est un plan. Quelles sont les formes possibles de la réduite de Jordan ?
Solution

Le nombre de blocs de Jordan correspondant à la valeur propre 2 est 2 car le sous-espace propre est de dimension. 2 Les formes possibles de Jordan sont donc (à permutation près des blocs sur la diagonale)

(\begin{matrix} 2 & 0 \\ 1 & 2 \\ 2 & 0 \\ 1 & 2 \\ - 3 \end{matrix})

(\begin{matrix} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 \\ - 3 \end{matrix})

Exercice

Soit

V

un espace vectoriel de dimension finie et

u

un endomorphisme de

V

. On suppose que le polynôme caractéristique de

u

est

\pm (x - 1)^{3} (x + 1)^{2}

et que le noyau de

u - Id

est un plan. Quelles sont les formes possibles de la réduite de Jordan ?à la valeur propre 1 est 2 car le sous-espace propre est de dimension 2. Les formes possibles de Jordan sont donc (à permutation près des blocs sur la diagonale)

(\begin{matrix} 2 & 0 \\ 1 & 2 \\ 2 & 0 \\ 1 & 2 \\ - 3 \end{matrix}), (\begin{matrix} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 \\ - 3 \end{matrix})

V-1 Le théorème des facteurs invariants
V-2 Quelques conséquences
V-3 Cas des dimensions 2
V-4 Des exercices corrigés
V-5 S'exercer : Invariants

V-5 S'exercer : Invariants, classes de similitude.

Réduction rationnelle des endomorphismes → V Facteurs invariants et décomposition rationnelle (Frobenius) → V-5 S'exercer : Invariants, classes de similitude.

Sous-espaces cycliques et invariants
Nombre de classes de similitude I
Nombre de classes de similitude II
Nombre de classes de similitude III

V-1 Le théorème des facteurs invariants
V-2 Quelques conséquences
V-3 Cas des dimensions 2
V-4 Des exercices corrigés
V-5 S'exercer : Invariants

VI Diagonalisation et trigonalisation

Réduction rationnelle des endomorphismes → VI Diagonalisation et trigonalisation

Définition

Un polynôme de

K [x]

est dit scindé si c'est le produit dans

K [x]

de facteurs de degré

1

Autrement dit,

P

est scindé s'il a toutes ses racines dans

K

VI-1 Endomorphismes diagonalisables

VI-2 S'exercer

VI-3 Endomorphismes trigonalisables

VI-4 Exercices

I Polynômes d'endomorphismes
II Sous-espaces stables
III Sous-espaces cycliques
IV Dualité
V Facteurs invariants et décomposition rationnelle (Frobenius)
VI Diagonalisation et trigonalisation
VII Décomposition de Jordan
VIII Tous les exercices WIMS utilisés

VI-1 Endomorphismes diagonalisables

Réduction rationnelle des endomorphismes → VI Diagonalisation et trigonalisation → VI-1 Endomorphismes diagonalisables

Définition

Un endomorphisme est diagonalisable si

V

admet une base formée de vecteurs propres de

u

Proposition

L'endomorphisme

u

est diagonalisable si son polynôme minimal est scindé et n'a que des racines simples.

Démonstration

u

est diagonalisable de valeurs propres

α_{1}

, ,

α_{r}

, (énumérées sans multiplicité), soit

(e_{1}, \dots e_{n})

une base de vecteurs propres Alors, le polynôme

P = \prod_{j = 1}^{r} (x - α_{i})

annule

u

, c'est-à-dire que

P (u) = 0

puisque

P (u) (e_{i}) = P (λ) e_{i} = 0

est la valeur propre associée à

e_{i}

. Donc

μ_{u}

qui est un diviseur de

P

est bien scindé et avec des racines simples (en fait,

μ_{u} = P

).
Réciproquement, supposons que

μ_{u} = \prod_{i = 1}^{r} (x - α_{i})

avec

α_{i} \neq α_{j}

pour

i \neq j

. Les polynômes

(x - α_{i}

sont alors premiers deux à deux et on peut appliquer le théorème du noyau :

V = \ker μ_{u} (u) = \oplus_{i = 1}^{r} \ker (u - α_{i})

(décomposition en sous-espaces stables par

u

). La restriction de

u

\ker (u - α_{i})

étant une homothétie de rapport

α_{i}

u

est diagonalisable.

Supposons

u

diagonalisable. Cherchons la décomposition de Frobenius de

u

. On a

μ_{1} = μ_{u} = \prod_{i = 1}^{r} (x - α_{i})

. Rappelons que

μ_{d} ∣ μ_{d - 1} ∣ \dots ∣ μ_{1}

et que le produit des

μ_{i}

doit être égal à

χ_{u} = \prod_{i = 1}^{r} (x - α_{i})^{n_{i}}

(

n_{i}

est donc la multiplicité de

α_{i}

dans

χ_{u}

). La seule possibilité combinatoire est que

{\begin{matrix} μ_{1} = & \prod_{n_{i} \geq 1} (x - α_{i}) \\ μ_{2} = & \prod_{n_{i} \geq 2} (x - α_{i}) \\ μ_{3} = & \prod_{n_{i} \geq 3} (x - α_{i}) \\ . . . & . . . \end{matrix}

etc. Donnons une démonstration par récurrence plus constructive relativement à une décomposition en somme directe de sous-espaces cycliques en reprenant la démonstration générale de constructions des invariants. On sait qu'il existe un vecteur

a

tel que

μ_{u, a} = μ_{1}

. Par exemple, on peut prendre

a = a_{1} + \dots + a_{r}

où

a_{i}

est un vecteur propre (non nul) de valeur propre

α_{i}

. On sait alors qu'il existe un sous-espace

W

stable par

u

tel que

V = V_{u, a} \oplus W

. Le polynôme minimal de

u_{∣ W}

est un diviseur de

μ_{u}

, il est donc encore scindé et sans facteurs multiples. Donc

u_{∣ W}

est diagonalisable, on a

χ_{u_{∣ W}} = χ_{u} / μ_{u} = \prod_{n_{i} \geq 2} (x - α_{i})^{n_{i} - 1}

et on applique l'hypothèse de récurrence.

Remarque

La généralisation naturelle de la notion de diagonalisable est la suivante. On dit que

u

est semi-simple si son polynôme minimal est un produit de polynômes irréductibles

P_{i}

où

P_{i}

P_{j}

sont premiers entre eux si

i \neq j

. Dans ce cas-là, les invariants de

u

sont déterminés par le polynôme minimal

μ_{u} = \prod_{j = 1}^{r} P_{i}

et le polynôme caractéristique

χ_{u} = \prod_{j = 1}^{r} P_{i}^{n_{i}}

{\begin{matrix} μ_{1} = & \prod_{n_{i} \geq 1} P_{i} \\ μ_{2} = & \prod_{n_{i} \geq 2} P_{i} \\ μ_{3} = & \prod_{n_{i} \geq 3} P_{i} \\ . . . & . . . \end{matrix}

La démonstration est similaire.
On remarque que étant donné un polynôme

P = \prod_{i = 1}^{r} P_{i}

sans facteur multiple (les

P_{i}

étant irréductibles) et un polynôme

Q = \prod_{i = 1}^{r} P_{i}^{n_{i}}

avec

n_{i} \geq 1

, il existe une unique classe d'endomorphismes semi-simples de polynôme minimal

P

et de polynôme caractéristique

Q

. L'unicité est bien sûr fausse si on enlève la condition semi-simple comme on l'a vu dans un cas de dimension 4.

VI-1 Endomorphismes diagonalisables
VI-2 S'exercer
VI-3 Endomorphismes trigonalisables
VI-4 Exercices

VI-2 S'exercer

Réduction rationnelle des endomorphismes → VI Diagonalisation et trigonalisation → VI-2 S'exercer

Exercice

Diagonalisable ?
Trouver un vecteur propre
Matrice diagonalisable ?
Trouver un vecteur propre
Matrice diagonalisable ? Peut-on conclure
Petit QCM sur la diagonalisation

VI-1 Endomorphismes diagonalisables
VI-2 S'exercer
VI-3 Endomorphismes trigonalisables
VI-4 Exercices

VI-3 Endomorphismes trigonalisables

Réduction rationnelle des endomorphismes → VI Diagonalisation et trigonalisation → VI-3 Endomorphismes trigonalisables

Définition

Un endomorphisme

u

est dit trigonalisable s'il existe une base de

V

dans laquelle la matrice de

u

est triangulaire.

Définition équivalente : Un endomorphisme

u

est dit trigonalisable s'il existe une suite de sous-espaces vectoriels

W_{i}

stables par

u

telle que

\dim W_{i} = i

avec

W_{1} \subset W_{2} \subset . . . \subset W_{n}

Proposition

L'endomorphisme

u

est trigonalisable si et seulement si le polynôme

χ_{u}

est scindé (ce qui est aussi équivalent à ce que

μ_{u}

soit scindé).

Démonstration

Supposons

u

trigonalisable. En calculant le polynôme caractéristique de

u

dans une base

ℬ

dans laquelle la matrice de

u

est triangulaire, on voit que

χ_{u} = \prod_{j = 1}^{n} (x - λ_{i})

où les

λ_{i}

sont les éléments de la diagonale. Le polynôme minimal étant un diviseur de

χ_{u}

, il est lui aussi scindé.
Supposons maintenant que

χ_{u}

est scindé (et donc

μ_{u}

). Le polynôme minimal de l'endomorphisme dual

^{t} u

est lui aussi scindé. Donc,

^{t} u

a un vecteur propre (non nul) varphi

dans

V^{}

de valeur propre lambda

. Soit

H

le noyau de la forme linéaire varphi

. C'est un sous-espace vectoriel de

V

de dimension

n - 1

(hyperplan) stable par

u

car

K φ

est un sous-espace de

V^{}

stable par

^{t} u

: refaisons la démonstration : si

φ (a) = 0

φ (u (a)) =^{t} u (φ) (a) = λ φ (a) = 0 .

Soit

D = K e_{n}

un supplémentaire de

H

dans

V

. La matrice de

u

dans une base de la forme (base de

H

e_{n}

) est de la forme

(\begin{matrix} * & * & * & * & * & * \\ * & * & * & * & * & * \\ * & * & * & * & * & * \\ * & * & * & * & * & * \\ * & * & * & * & * & * \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & * \end{matrix}) .

On est ramené à étudier

v = u_{∣ H}

: le polynôme caractéristique de

v

est un diviseur de

χ_{u}

et est donc scindé (calcul dans la base précédente). On procède alors par induction.

VI-1 Endomorphismes diagonalisables
VI-2 S'exercer
VI-3 Endomorphismes trigonalisables
VI-4 Exercices

VI-4 Exercices

Réduction rationnelle des endomorphismes → VI Diagonalisation et trigonalisation → VI-4 Exercices

Exercice

Dans les deux premières questions,

u

est un endomorphisme diagonalisable de

V

S

l'ensemble de ses valeurs propres. Pour tout

s \in S

, on note

V_{s}

l'espace propre associé.

Montrer qu'un sous-espace $W$ de $V$ est stable par $u$ si et seulement si $W$ est somme (alors directe) des $W \cap V_{s}$ pour $s \in S$ .
Solution
Le sous-espace propre $V_{s}$ est le noyau de $P (u)$ avec $P$ le polynôme $x - s$ . Si $W$ est stable par $u$ , il en est de même de $W \cap V_{s}$ . En particulier, les sous-espaces $W \cap V_{s}$ sont en somme directe. D'autre part, la restriction de $u$ à $W$ est diagonalisable (son polynôme minimal n'a que des zéros simples). Si $W_{s}$ est l'espace propre de $u_{∣ W}$ associé à la valeur propre $s$ , on a $W = \oplus W_{s} \subset \oplus W \cap V_{s} \subset W$ . Donc $W = \oplus W \cap V_{s}$ .
La réciproque est facile : il suffit de montrer que $W \cap V_{s}$ est stable par $u$ . Or si $w \in W \cap V_{s}$ , $u (w) = sw \in W \cap V_{s}$
En déduire que tout sous-espace de $V$ stable par $u$ possède un supplémentaire stable par $u$ .
Solution
Soit $W$ un sous-espace stable par $u$ . Soit $Y_{s}$ un supplémentaire de $W \cap V_{s}$ dans $V_{s}$ . Il est nécessairement stable par $u$ , car la restriction de $u$ à $Y_{s}$ est une homothétie. Alors $Y = \oplus Y_{s}$ est un supplémentaire de $W$ dans $V$ stable par $u$ (on a $W \cap Y = {0}$ , les dimensions sont OK et $u (Y) \subset \oplus Y_{s} = Y$ .
Soit $u$ un endomorphisme de $V$ dont le polynôme caractéristique est scindé. Supposons que tout sous-espace de $V$ stable par $u$ ait un supplémentaire stable. Montrer que $u$ est alors diagonalisable.
Solution
Supposons que $u$ n'est pas diagonalisable. Il existe alors une valeur propre $s$ et un vecteur $v$ tel que $(u - s Id)^{2} (v) = 0$ et $w = (u - s Id) (v) \neq 0$ . Soit $W$ le sous-espace engendré par $w$ . Il est stable par $u$ car $u (w) = sw$ . Donc il admet un supplémentaire $H$ stable par $u$ . On décompose $v = w' + h$ avec $w' \in W$ et $h \in H$ . En appliquant $u$ , $u (v) = s v + w = sw' + sh + w$ ce qui vaut d'autre part $u (w') + u (h) = s w' + u (h)$ . Donc, $u (h) = s h + w$ . Comme $u (h)$ appartient à $H$ , on en déduit que $w$ appartient à $H$ ce qui est impossible.
Contre-exemple si $u$ n'est pas diagonalisable.
Solution
Prenons $u$ de matrice $A = (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix})$ dans une base. Le sous-espace $W = ⟨ e_{1} ⟩$ est stable par $u$ mais ne possède pas de supplémentaire stable par $u$ . Sinon, $u$ serait diagonalisable.

VI-1 Endomorphismes diagonalisables
VI-2 S'exercer
VI-3 Endomorphismes trigonalisables
VI-4 Exercices

VII Décomposition de Jordan

Réduction rationnelle des endomorphismes → VII Décomposition de Jordan

VII-1 Réduction de Jordan

VII-2 Formes de Jordan possibles

VII-3 Dimension de la somme des espaces propres

VII-4 Exercice : décomposition de Dunford explicitement

VII-5 Exercice : comment calculer la matrice de Jordan d'un endomorphisme nilpotent

VII-6 Vecteurs propres, blocs de Jordan pour les endomorphismes nilpotents

VII-7 Quelques exercices

VII-8 Exercice : décomposition de Jordan-Chevalley

VII-9 Endomorphisme cyclique et commutant

VII-10 Carré d'un endomorphisme

I Polynômes d'endomorphismes
II Sous-espaces stables
III Sous-espaces cycliques
IV Dualité
V Facteurs invariants et décomposition rationnelle (Frobenius)
VI Diagonalisation et trigonalisation
VII Décomposition de Jordan
VIII Tous les exercices WIMS utilisés

VII-1 Réduction de Jordan

Réduction rationnelle des endomorphismes → VII Décomposition de Jordan → VII-1 Réduction de Jordan

On suppose désormais que

u

est trigonalisable, autrement dit que

χ_{u}

est scindé et on cherche une forme matricielle simple. On va déduire les résultats de ce qu'on a déjà démontré sans hypothèses sur

χ_{u}

(réduction de Frobenius).

Définition

On appelle bloc de Jordan associé à

(α, r)

la matrice

J_{r} (α) = ((t_{i, j}))

de taille

r

avec

t_{i, j} = α

i = j

t_{i, j} = 1

i = j + 1

0

sinon. Exemple :

(\begin{matrix} α & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & α & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & α & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & α & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & α & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & α \end{matrix})

Autrement dit,

J_{r} (α) - α Id

est la matrice compagnon de

x^{r}

. Elle est en particulier nilpotente. Le polynôme minimal de

J_{r} (α) - α Id

est

x^{r}

. Le polynôme minimal de

J_{r} (α)

est

(x - α)^{r}

. Remarquons que la matrice

J_{r} (α)

est semblable à la matrice compagnon du polynôme

(x - α)^{r}

. En effet, si

a, u (a), \dots, u^{r - 1} (a)

est la base dans laquelle on calcule la matrice compagnon de l'endomorphisme

u

, la matrice

J_{r} (α)

est la matrice dans la base

a, (u - α) (a), \dots, (u - α)^{r - 1} (a)

(vérifier que c'est bien une base). En effet,

u ((u - α)^{s} (a)) = (α + u - α) (u - α)^{s} (a) = α (u - α)^{s} (a) + (u - α)^{s + 1} (a) .

Théorème

Soit

u

un endomorphisme de

V

tel que

χ_{u}

est scindé. Il existe une base de

V

telle que la matrice de

u

dans cette base soit formée de blocs de Jordan sur la diagonale

(\begin{matrix} J_{r_{1}} (β_{1}) \\ J_{r_{2}} (β_{2}) \\ J_{r_{3}} (β_{3}) \\ J_{r_{4}} (β_{4}) \\ J_{r_{5}} (β_{5}) \end{matrix})

Démonstration

On va le déduire du théorème de Frobenius. On va donner les étapes. On écrit

μ_{u} = \prod_{i = 1}^{r} (x - α_{i})^{e_{i}}

χ_{u} = \prod_{i = 1}^{r} (x - α_{i})^{n_{i}}

décomposition primaire : $V = \oplus_{i = 1}^{r} \ker (u - α_{i})^{e_{i}}$ ;
décomposition de Frobenius sur chacun des $V_{i} = \ker (u - α_{i})^{e_{i}}$ et de l'endomorphisme $e_{i} = u_{∣ V_{i}}$ en somme directe de sous-espaces cycliques :
$V_{i} = \oplus V_{i}^{(j)}$
avec $V_{i}^{(j)} = V_{a_{i j}}$ un sous-espace cyclique de polynôme minimal $μ_{i}^{(j)} = (x - α_{i})^{e_{i, j}}$ , $(e_{i, j})_{j}$ suite décroissante d'entiers avec $e_{i, 1} = e_{i}$ . La matrice de $u$ restreinte à $V_{i}^{(j)}$ dans la base $(a_{i j}, (u - α_{i}) (a_{i j}), \dots, (u - α_{i})^{e_{i, j} - 1} (a_{i j}))$ est un bloc de Jordan de taille $e_{i, j}$ .

Théorème

Soit

u

un endomorphisme de

V

tel que

χ_{u}

est scindé. Alors, il existe deux endomorphismes

s

n

commutant tels que

u = s + n

avec

s

un endomorphisme diagonalisable et

n

un endomorphisme nilpotent. De plus

s

n

sont uniques et sont des polynômes en

u

Démonstration

Reprenons la démonstration précédente pour l'existence. Soit

n_{α_{i}} = (u - α_{i} Id)_{∣ V_{i}}

. C'est un endomorphisme nilpotent. On a

u_{∣ V_{i}} = α_{i} {Id}_{V_{i}} + n_{α_{i}}

. Notons

n

l'unique endomorphisme de

V

dont la restriction à

V_{i}

est

n_{i}

s

l'unique endomorphisme de

V

dont la restriction à

V_{i}

est

{Id}_{V_{i}}

. On a bien

u = s + n

où

s

est diagonalisable et nilpotent.
Montrons que

s

commute avec

u

. En effet, soit

p_{i}

les projections de

V

sur

V_{i}

. Les sous-espaces

V_{i}

étant obtenus par le théorème des noyaux,

p_{i}

est un polynôme en

u

s = \sum_{i} α_{i} p_{i}

. On en déduit que

s

commute avec

u

n = u - s

commute aussi avec

u

et avec

s = P (u)

.
Montrons maintenant l'unicité. Ecrivons

u = s + n = s' + n'

avec

s

n

des polynômes en

u

. On en déduit que

s'

n'

commutent à

s

n

. Donc,

s - s'

est encore diagonalisable grâce au lemme qui suit et

n - n' = s' - s

étant à la fois diagonalisable et nilpotent est nul. Donc,

n = n'

s = s'

Lemme

Deux endomorphismes diagonalisables et commutant possèdent une base commune de vecteurs propres.

Démonstration

Notons

s

s'

les deux endomorphimes. Soit lambda

une valeur propre de

s

V_{λ} = \ker (u - λ Id)

. Montrons que

V_{λ}

est stable par

s'

. En effet, si

a \in V_{λ}

s (s' (a)) = s' (s (a)) = s' (λ a) = λ s' (a) .

La restriction de

s'

V_{λ}

définit bien un endomorphisme de

V_{λ}

et est diagonalisable. Toute base de vecteurs propres de

s'_{∣ V_{λ}}

est aussi une base de vecteurs propres de

s_{∣ V_{λ}}

. Il ne reste plus qu'à recoller puisque

V = \oplus_{λ} V_{λ}

(car

s

est diagonalisable).

Exercice [ Et si les deux endomorphismes sont triangonalisables ]

Soient

u

v

des endomorphismes trigonalisables de

V

qui commutent. Montrer qu'il existe une base de

V

dans laquelle les matrices de

u

v

sont triangulaires. {sol} De manière générale, si

Q

est un polynôme,

v

laisse stable

W = \ker Q (u)

. En effet, si

x \in W

, on a

Q (u) (v (x)) = v (Q (u) (x)) = 0

. Donc

v (x) \in W

. Le polynôme caractéristique

χ_{u}

est scindé :

χ_{u} = \prod_{i} P_{i}

avec les polynômes

P_{i}

premiers entre eux deux à deux et en fait de la forme

(x - α_{i})^{n_{i}}

. On a

V = \oplus \ker P_{i} (u)

(théorème des noyaux). De plus, trouver une base dans laquelle la matrice de

u

est trigonalisable revient à trouver pour tout

i

, des bases compatibles des sous-espaces

\ker (u - α_{i})^{n_{j}}

pour

j

variant. L'endomorphisme

v

laisse stable chacun de ces sous-espaces et est trigonalisable sur chacun de ces sous-espaces.
{sol}

VII-1 Réduction de Jordan
VII-2 Formes de Jordan possibles
VII-3 Dimension de la somme des espaces propres
VII-4 Exercice : décomposition de Dunford explicitement
VII-5 Exercice : comment calculer la matrice de Jordan d'un endomorphisme nilpotent
VII-6 Vecteurs propres
VII-7 Quelques exercices
VII-8 Exercice : décomposition de Jordan-Chevalley
VII-9 Endomorphisme cyclique et commutant
VII-10 Carré d'un endomorphisme

VII-2 Formes de Jordan possibles

Réduction rationnelle des endomorphismes → VII Décomposition de Jordan → VII-2 Formes de Jordan possibles

Exercice

Quelles sont les formes de Jordan possible pour un endomorphisme de polynôme caractéristique

(x + 2)^{2} (x - 5)^{3}

?
Solution

On peut traiter indépendemment la partie

(x + 2)^{2}

(x - 5)^{3}

grâce à la décomposition en somme directe

V = \ker (x + 2)^{2} \oplus \ker (x - 5)^{3}

. La dimension de

V_{- 2} = \ker (x + 2)^{2}

est 2 (car son polynôme caractéristique est

(x + 2)^{2}

Réduction de Jordan	Nombre de blocs	Invariants	Diagramme de Young	Dim de l'espace propre
$(\begin{matrix} - 2 & 0 \\ 0 & - 2 \end{matrix})$	2	$(x, x)$		2
$(\begin{matrix} - 2 & 0 \\ 1 & - 2 \end{matrix})$	1	$(x)$		1

La dimension de

V_{5} = \ker (x - 5)^{3}

est 3 (polynôme caractéristique de degré 3).

Réduction de Jordan	Nombre de blocs	Invariants	Dim de l'espace propre
$(\begin{matrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{matrix})$	3	$(x, x, x)$	3
$(\begin{matrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 1 & 5 \end{matrix})$	2	$(x^{2}, x)$	2
$(\begin{matrix} 5 & 0 & 0 \\ 1 & 5 & 0 \\ 0 & 1 & 5 \end{matrix})$	1	$(x^{3})$	1

On suppose de plus que l'espace propre associé à

- 2

est un hyperplan et que l'espace propre associé à

5

est un plan. Quelle est la réduction de Jordan ?
Solution

L'étude précédente montre que la réduction de Jordan est par exemple

(\begin{matrix} - 2 & 0 \\ 1 & - 2 \\ 5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 1 & 5 \end{matrix})

Exercice

Matrices nilpotentes et tableaux de Young

VII-1 Réduction de Jordan
VII-2 Formes de Jordan possibles
VII-3 Dimension de la somme des espaces propres
VII-4 Exercice : décomposition de Dunford explicitement
VII-5 Exercice : comment calculer la matrice de Jordan d'un endomorphisme nilpotent
VII-6 Vecteurs propres
VII-7 Quelques exercices
VII-8 Exercice : décomposition de Jordan-Chevalley
VII-9 Endomorphisme cyclique et commutant
VII-10 Carré d'un endomorphisme

VII-3 Dimension de la somme des espaces propres

Réduction rationnelle des endomorphismes → VII Décomposition de Jordan → VII-3 Dimension de la somme des espaces propres

Proposition

Supposons le polynôme minimal de

u

scindé. Supposons que

V = \oplus_{i = 1}^{r} V_{i}

avec

u_{∣ V_{i}}

semblable à un bloc de Jordan de valeur propre

λ_{i}

. Alors, la somme des sous-espaces propres de

V

est de dimension

r

Par exemple, si

u

a une seule droite propre, alors elle est semblable à un bloc de Jordan.

Exercice

Partitions et décomposition de Jordan

VII-1 Réduction de Jordan
VII-2 Formes de Jordan possibles
VII-3 Dimension de la somme des espaces propres
VII-4 Exercice : décomposition de Dunford explicitement
VII-5 Exercice : comment calculer la matrice de Jordan d'un endomorphisme nilpotent
VII-6 Vecteurs propres
VII-7 Quelques exercices
VII-8 Exercice : décomposition de Jordan-Chevalley
VII-9 Endomorphisme cyclique et commutant
VII-10 Carré d'un endomorphisme

VII-4 Exercice : décomposition de Dunford explicitement

Réduction rationnelle des endomorphismes → VII Décomposition de Jordan → VII-4 Exercice : décomposition de Dunford explicitement

Exercice

Trouver la décomposition de Dunford de la matrice/endomorphisme

u = (\begin{matrix} α & x & z \\ 0 & α & y \\ 0 & 0 & β \end{matrix})

.
Solution

On doit donc écrire

u = s + n

où

s

est diagonalisable, où

n

est nilpotente et où

s

n

commutent. On sait que

s

n

peuvent être obtenues comme un polynôme d'endomorphismes en

u

. Soit

P_{1} = (x - α)^{2}

P_{2} = x - β

. Le polynôme caractéristique de

A

est

P_{1} P_{2}

. On a

V = \ker P_{1} (u) \oplus \ker P_{2} (u)

. Les projecteurs sur

\ker P_{1} (u)

\ker P_{2} (u)

sont donnés de la manière suivante : écrivons

1 = U P_{1} + V P_{2}

, alors tout vecteur

a

V

s'écrit sous la forme

a = (V P_{2}) (u) (a) + (U P_{1}) (u) (a)

; le projecteur sur

\ker P_{1} (u)

est donné par

p_{1} = (V P_{2}) (u)

; le projecteur sur

\ker P_{2} (u)

est donné par

p_{2} = (U P_{1}) (u)

.
Alors,

s = S (u)

avec

S = α V P_{2} + β V P_{1}

. On peut aussi écrire cela comme une solution du lemme chinois :

S \equiv {\begin{matrix} α mod P_{1} \\ β mod P_{2} \end{matrix}

ou encore explicitement

S \equiv {\begin{matrix} α mod (x - α)^{2} \\ β mod x - β \end{matrix}

On a

(x - α)^{2} = (x - β) (x + β - 2 α) + (β - α)^{2}

Donc

(β - α)^{2} = (x - α)^{2} - (x - β) (x + β - 2 α)

d'où

\begin{aligned} (β - α)^{2} S & = β (x - α)^{2} - α (x - β) (x + β - 2 α) \\ = (β - α) (x^{2} - 2 α x + β α) \\ = (β - α) ((x - α)^{2} - α^{2} + β α) \end{aligned}

S = \frac{1}{β - α} (x - α)^{2} + α

On trouve donc que

s = \frac{1}{β - α} (u - α)^{2} + α Id = (\begin{matrix} α & 0 & \frac{x z}{β - α} + z \\ 0 & α & y \\ 0 & 0 & β \end{matrix})

La matrice

n

se calcule par

n = u - s = (\begin{matrix} 0 & x & \frac{x z}{β - α} \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})

Remarquons que si

x = 0

, la matrice

u

est digonalisable et on a bien

n = 0

dans ce cas.

VII-1 Réduction de Jordan
VII-2 Formes de Jordan possibles
VII-3 Dimension de la somme des espaces propres
VII-4 Exercice : décomposition de Dunford explicitement
VII-5 Exercice : comment calculer la matrice de Jordan d'un endomorphisme nilpotent
VII-6 Vecteurs propres
VII-7 Quelques exercices
VII-8 Exercice : décomposition de Jordan-Chevalley
VII-9 Endomorphisme cyclique et commutant
VII-10 Carré d'un endomorphisme

VII-5 Exercice : comment calculer la matrice de Jordan d'un endomorphisme nilpotent

Réduction rationnelle des endomorphismes → VII Décomposition de Jordan → VII-5 Exercice : comment calculer la matrice de Jordan d'un endomorphisme nilpotent

Soit

V

un espace vectoriel de dimension finie et

u

un endomorphisme.

Soit $W$ un sous-espace cyclique de $V$ pour $u$ de dimension $d$ : il admet donc une base de la forme
$(v, u (v), . . ., u^{d - 1} (v)) .$
Soit $f$ une forme linéaire ne s'annulant pas sur $u^{d - 1} (v)$ et s'annulant sur $u^{j} (v)$ pour $1 \leq j < d - 1$ . Montrer que si $Y$ est le sous-espace du dual $V^{*}$ de $V$ engendré par $f,^{t} u f, . . .^{t} u^{d - 1} f$ , l'orthogonal $Y^{o}$ de $Y$ est un supplémentaire de $W$ dans $V$ stable par $u$ .
Solution
Montrons que $Y^{o}$ et $W$ sont en somme directe. Soit $w = \sum_{i = 1}^{d - 1} a_{i} u^{i} (v)$ un vecteur de $W$ tel que $^{t} u^{j} f (w) = 0$ pour tout $j$ . Alors $\sum_{i = 1}^{d - 1} a_{i} f (u^{i + j} (v)) = 0$ pour tout $j$ . En prenant $j = 0$ , on obtient $a_{d - 1} = 0$ , puis avec $j = 1$ , $a_{d - 2} = 0$ , ... (système triangulaire).
Montrons maintenant que $Y$ est de dimension $d$ . Dans le cas contraire, les formes linéaires $f,^{t} u f, . . .^{t} u^{d - 1} f$ seraient liées. Il existerait une combinaison linéaire nulle non triviale non nulle $\sum_{i = 0}^{k} a_{i}^{t} u^{i} f = 0$ avec $k \leq d - 1$ et $a_{k} \neq 0$ . Donc sur le vecteur $u^{d - 1 - k} (v)$ ,
$\sum_{i = 0}^{k} a_{i}^{t} u^{i} f (u^{d - 1 - k} (v)) = \sum_{i = 0}^{k} a_{i} f (u^{d - 1 - k + i} (v)) = a_{k} f (u^{d - 1} (v) \neq 0$
On a donc montré que $V = W \oplus Y^{0}$ . Le sous-espace $Y$ est stable par $^{t} u$ . Donc son orthogonal $Y^{0}$ est stable par $u$ .
Application : on considère l'endomorphisme $u$ dont la matrice dans une base $(e_{1}, \dots, e_{5})$ est
$A = (\begin{matrix} 0 & - 2 & 1 & 1 & - 2 \\ 1 & 3 & 0 & - 2 & 3 \\ - 1 & 0 & - 1 & 0 & 0 \\ - 2 & - 2 & - 1 & 1 & - 2 \\ - 2 & - 3 & - 1 & 2 & - 3 \end{matrix})$

On indique que le polynôme caractéristique de $A$ est $x^{5}$ .
1. Calculer la dimension des noyaux des puissances successives de $u$ .
  Solution
  On calcule les puissances successives de $A$ :
  $A^{2} = (\begin{matrix} - 1 & - 2 & 0 & 1 & - 2 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 & 2 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 & 2 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}) A^{3} = 0$
  
  Le noyau de $u$ est de dimension 2 (on peut vérifier que le noyau de $u$ est engendré par les vecteurs $e_{2} - e_{5}$ et $e_{1} - e_{2} - e_{3} - e_{4}$ ), le rang de $u^{2}$ est 1. On en déduit que $\dim \ker u = 2$ , $\dim \ker u^{2} = 4$ , $\dim \ker u^{3} = 5$ .
2. En déduire la forme de Jordan de $u$ (sans calculer de changement de base).
  Solution
  Le nombre de blocs de Jordan de taille supérieure ou égale à 1 est donc 2, le nombre de blocs de Jordan de taille supérieure ou égale à 2 est donc 4-2=2, le nombre de blocs de Jordan de taille supérieure ou égale à 3 est donc 5-4=1, le nombre de blocs de Jordan de taille supérieure ou égale à 4 est donc 0. Il y a donc un bloc de taille 2 et un bloc de taille 3 :
  $J = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix})$
3. En utilisant la méthode indiquée dans la première question, calculer une base dans laquelle la matrice de $u$ est la matrice de Jordan trouvée à la question précédente.
  Solution
  On choisit un vecteur $v_{1}$ tel que $u^{2} v_{1} \neq 0$ , par exemple dans les vecteurs de la base canonique. Prenons, $v_{1} = e_{1}$ . $v_{2} = u (v_{1}) = e_{2} - e_{3} - 2 e_{4} - 2 e_{5}$ . On a alors $v_{3} = u^{2} (v_{1}) = - e_{1} + e_{2} + e_{3} + e_{4}$ . Soit $W = ⟨ v_{1}, v_{2}, v_{3} ⟩$ . On cherche une forme linéaire $f$ telle que $f (u^{2} (v_{1})) \neq 0$ et telle que $f (u (v_{1})) = 0$ , $f (v_{1}) = 0$ . Par exemple $f = e_{2}^{} + e_{3}^{}$ : en représentant $f$ par une matrice ligne : $F = (\begin{matrix} 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \end{matrix})$ .
  On calcule une base du sous-espace cyclique $Y$ engendré par $f$ dans $V^{*}$ . On a
  $F A = (\begin{matrix} 0 & 3 & - 1 & - 2 & 3 \end{matrix}), F A^{2} = (\begin{matrix} 2 & 4 & 0 & - 2 & 4 \end{matrix}) .$
  L'orthogonal $Y'$ de $Y$ est un supplémentaire de $W$ stable par $u$ . Il est donné par les équations
  $\begin{matrix} x_{2} + x_{3} & = & 0 \\ 3 x_{2} - x_{3} - 2 x_{4} + 3 x_{5} & = & 0 \\ x_{1} + 2 x_{2} - x_{4} + 2 x_{5} & = & 0 \end{matrix}$
  
  Une base de $Y'$ est donnée par $(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ - 1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix})$ et $(\begin{matrix} - 2 \\ - 3 \\ 3 \\ 0 \\ 2 \end{matrix})$ . On doit maintenant choisir un vecteur dans $Y'$ tel que ${Av}_{4} \neq 0$ . On prend $v_{4} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ - 1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix})$ . Soit $v_{5} = {Av}_{4} = (\begin{matrix} - 1 \\ - 1 \\ 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})$ . Dans la base $(v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}, v_{5})$ , la matrice de $u$ est la matrice de Jordan écrite plus haut : si
  $P = (\begin{matrix} 1 & 0 & - 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & - 1 \\ 0 & - 1 & 1 & - 1 & 1 \\ 0 & - 2 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 & 2 \end{matrix})$
  on a $J = P^{- 1} AP$ .

Exercice

Pratique de Jordan

VII-1 Réduction de Jordan
VII-2 Formes de Jordan possibles
VII-3 Dimension de la somme des espaces propres
VII-4 Exercice : décomposition de Dunford explicitement
VII-5 Exercice : comment calculer la matrice de Jordan d'un endomorphisme nilpotent
VII-6 Vecteurs propres
VII-7 Quelques exercices
VII-8 Exercice : décomposition de Jordan-Chevalley
VII-9 Endomorphisme cyclique et commutant
VII-10 Carré d'un endomorphisme

VII-6 Vecteurs propres, blocs de Jordan pour les endomorphismes nilpotents

Réduction rationnelle des endomorphismes → VII Décomposition de Jordan → VII-6 Vecteurs propres, blocs de Jordan pour les endomorphismes nilpotents

On suppose désormais que

u

est nilpotent. On s'y ramène en utilisant le théorème des noyaux puis en étudiant

u - λ Id

plutôt que

u

. Soit

x^{s}

son polynôme minimal.

Proposition

Soit

u

un endomorphisme nilpotent cyclique. Alors,

\dim \ker u^{s} = \max (s, \dim V) .

Démonstration

La dimension du noyau de

u

est de dimension 1 : pour cela, on travaille dans une base de Jordan. il s'agit de résoudre

x_{1} = 0

, ....,

x_{n - 1} = 0

; le noyau est donc engendré par le dernier vecteur de la base. Donc

\dim \ker u = 1

. La matrice de

u^{2}

est obtenue en mettant des 1 sur la deuxième diagonale inférieure. Son noyau est donc

\max (2, \dim V)

...

On en déduit le cas général.

Théorème

Soit

u

un endomorphisme nilpotent d'invariants

(x^{r_{1}}, \dots, x^{r_{d}})

. Alors,

\dim \ker u^{k} = \sum_{i = 1}^{r} \max (r_{i}, k) .

On peut aussi écrire que

\dim \ker u^{k} - \dim \ker u^{k - 1} = \sum_{r_{i} \geq k} 1 .

Démonstration

On a

V = \oplus_{i = 1}^{r} V_{i}

avec

V_{i}

sous-espace

u

-cyclique de dimension

r_{i}

. On déduit de la proposition précédente que

\dim \ker u^{k} = \sum_{i = 1}^{r} \max (r_{i}, k)

On peut lire cette formule sur le diagramme de Young de

u

. Le terme

\sum_{r_{i} \geq k} 1

est égal au nombre de lignes sur la

k

-ième colonne.

\dim \ker u^{1} = 6

\dim \ker u^{2} = 6 + 5 = 11

\dim \ker u^{3} = 11 + 4 = 15

\dim \ker u^{4} = 15 + 3 = 18

\dim \ker u^{5} = 18 + 1 = 19

VII-1 Réduction de Jordan
VII-2 Formes de Jordan possibles
VII-3 Dimension de la somme des espaces propres
VII-4 Exercice : décomposition de Dunford explicitement
VII-5 Exercice : comment calculer la matrice de Jordan d'un endomorphisme nilpotent
VII-6 Vecteurs propres
VII-7 Quelques exercices
VII-8 Exercice : décomposition de Jordan-Chevalley
VII-9 Endomorphisme cyclique et commutant
VII-10 Carré d'un endomorphisme

VII-7 Quelques exercices

Réduction rationnelle des endomorphismes → VII Décomposition de Jordan → VII-7 Quelques exercices

Exercice

Trouver les matrices

A

de taille 5, de rang 3, tel que le rang de

A^{2}

est égal à 1 et tel que

A^{3} = 0

.
Solution

On a

\dim \ker A = 2

\dim \ker A^{2} = 4

\dim \ker A^{3} = 5

. Le diagramme de Young est donc de la forme

Ses invariants sont

(x^{3}, x^{2})

Exercice

Soit

K

un corps commutatif. Combien y a-t-il de classes de similitude de matrices de

M_{8} (K)

telles que

Im A = \ker A

?
Solution

Une telle matrice est nilpotente et vérifie même

A^{2} = 0

. Ses invariants de similitude sont

x^{k_{1}}, . . ., x^{k_{d}}

.
On a

\dim Im A = \dim \ker A

, donc la dimension du noyau

\ker A

est 4. On en déduit que la suite des invariants est de longueur 4. La seule possibilité est donc qu'il y ait 4 blocs de taille 2. Son diagramme de Young est

Exercice

Soit

K

un corps commutatif. Combien y a-t-il de classes de similitude de matrices nilpotentes de

M_{7} (K)

tel que

\dim \ker A^{2} = 5

?
Solution

Une telle matrice vérifie

A^{7} = 0

. Ses invariants de similitude sont

x^{k_{1}}, . . ., x^{k_{d}}

.
La dimension du noyau de

A^{2}

est égale à 3. On en déduit qu'il y a au plus 2 blocs (la dimension de

\ker A

). Les diagrammes de Young possibles sont

Il y a trois classes de similitudes dont les invariants sont

(x^{3}, x^{3}, x)

(x^{4}, x^{2}, x)

(x^{4}, x, x, x)

Exercice

Soit

K

un corps commutatif. Combien y a-t-il de classes de similitude de matrices nilpotentes de

M_{9} (K)

tel que

rg A^{3} = 5

? Pour chacune de ces classes, donner les invariants de similitude.
Solution

Les possibilités sont

Exercice

Soit la matrice

A = (\begin{matrix} - 2 & 0 & - 2 & - 3 & 1 & - 2 \\ - 2 & 0 & - 2 & - 4 & 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 2 & - 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \end{matrix})

Montrer que $A$ est nilpotente et calculer la dimension des noyaux des puissances successives de $A$ . Donner la forme de Jordan $J$ de la matrice $A$ .
Solution
On a $A^{2} = (\begin{matrix} - 1 & 2 & - 1 & 2 & - 1 & 0 \\ - 1 & 1 & - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & - 2 & 1 & 0 \\ 1 & - 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & - 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix})$ et $A^{3} = 0$ . On voit des relations sur les colonnes de $A$ : $C_{1} = C_{3}$ , $C_{2} + C_{3} - C_{5} = C_{4}$ . Donc l'image de $A$ est engendrée par $C_{1}$ , $C_{2}$ , $C_{4}$ et $C_{6}$ . On vérifie que ces quatre vecteurs forment un système libre (on peut aussi bien sûr résoudre directement les équations pour le noyau) : par exemple, si $x C_{1} + y C_{2} + z C_{4} + t C_{5} = 0$ en regardant l'avant-dernière ligne, on trouve que $t = 0$ . En regardant la troisième ligne, on en déduit que $z = 0$ , puis que $x + 2 z = 0$ , $x - y = 0$ , donc que la combinaison linéaire est triviale. Bref, $\dim \ker A = 6 - 4 = 2$ .
Passons à $A^{2}$ . Les colonnes 1 et 3 de $A^{2}$ sont égales, les colonnes 4 et 5 sont liées. La dernière colonne est nulle. La somme de la deuxième colonne et de la troisième est liée à la quatrième ! L'image est engendrée par $C_{1}$ , $C_{2}$ et on a $\dim \ker A^{2} = 4$ .
De ces informations, on déduit qu'il y a deux blocs de Jordan de dimension 3 chacun. On a donc $J = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix})$
Calculer une matrice inversible $P$ (ou $P^{- 1}$ ) telle que $J = P A P^{- 1}$ .
Solution
On cherche une base dans laquelle la matrice de $A$ est $J$ . Pour cela, on choisit un vecteur tel que $A^{2} = 0$ , par exemple, en notant $e_{i}$ la base canonique, $v_{1} = e_{1}$ . On cherche alors une forme linéaire $f$ telle que $f (v_{1}) = 0$ , $f ({Av}_{1}) = 0$ et $f (A^{2} v_{1}) = 1$ . Par exemple, $f = e_{5}^{*} = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix})$ . L'orthogonal du sous-espace $Y$ du dual engendré par $f$ , $f A$ et $f (A^{2}) f$ est un supplémentaire de $< v_{1}, A v_{1}, A^{2} v_{1} >$ stable par $A$ . Calculons-le. On a $f A = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix})$ , $f A^{2} = (\begin{matrix} 1 & - 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \end{matrix})$ , L'orthogonal de $Y$ est donc donné par les équations $x_{5} = 0$ , $x_{6} = 0$ , $x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$ , dont une base est $- e_{1} + e_{2}$ , $- e_{1} + e_{3}$ . On vérifie que $v_{4} = e_{2} - e_{1}$ est tel que $A^{2} v_{4} \neq 0$ . Donc la matrice $A$ s'écrit $J$ dans la base $v_{1}, A v_{1}, A^{2} v_{1}, v_{4}, A v_{4}, A^{2} v_{4}$ , autrement dit si $P = (v_{1}, A v_{1}, A^{2} v_{1}, v_{4}, A v_{4}, A^{2} v_{4})$ , on a $J = P A P^{- 1}$ .

Exercice

Soit

V

un espace vectoriel de dimension finie et

u

un endomorphisme dont la matrice est la suivante dans une base

ℬ = (e_{1}, \dots, e_{14})

(\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix})

Répondre aux questions suivantes dans l'ordre désiré (en justifiant et en limitant les calculs) :

Calculer le polynôme minimal de $u$ .
Ecrire la décomposition de Frobenius de $V$ : $V = \oplus_{i = 1}^{r} V_{i}$ en précisant la valeur de $r$ et la valeur des polynômes minimaux de la restriction de $u$ à $V_{i}$ .
Calculer la dimension des noyaux de $u^{s}$ pour $s$ entier.

Solution

On réécrit la matrice en faisant apparaître les blocs de Jordan :

(\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix})

Les polynômes minimaux des blocs de Jordan sont respectivement dans l'ordre

x^{4}

x^{3}

x^{3}

x

x

x^{2}

. Si on note

V_{i}

les sous-espaces vectoriels correspondant (

V_{1}

est engendré par

e_{1}

, ...,

e_{4}

V_{2}

est engendré par

e_{5}

, ...,

e_{8}

, etc). Une décomposition de Frobenius de

V

pour

u

est donc

V = V_{1} \oplus V_{2} \oplus V_{3} \oplus V_{6} \oplus V_{4} \oplus V_{5}

. Le polynôme minimal de

u

est

x^{4}

. Ses invariants de similitude sont

(x^{4}, x^{3}, x^{3}, x^{2}, x, x)

. Le nombre de blocs de Jordan de taille supérieure ou égale à

i

est égale à

\dim \ker u^{i} - \dim \ker u^{i - 1}

. On en déduit que

\dim \ker u = 6

\dim \ker u^{2} = 6 + 4 = 10

\dim \ker u^{3} = 10 + 3 = 13

\dim \ker u^{4} = 13 + 1 = 14 = \dim V

Exercice

Matrice de Jordan et noyaux itérés
Partitions et décomposition de Jordan
Jordan et invariants de similitude

VII-1 Réduction de Jordan
VII-2 Formes de Jordan possibles
VII-3 Dimension de la somme des espaces propres
VII-4 Exercice : décomposition de Dunford explicitement
VII-5 Exercice : comment calculer la matrice de Jordan d'un endomorphisme nilpotent
VII-6 Vecteurs propres
VII-7 Quelques exercices
VII-8 Exercice : décomposition de Jordan-Chevalley
VII-9 Endomorphisme cyclique et commutant
VII-10 Carré d'un endomorphisme

VII-8 Exercice : décomposition de Jordan-Chevalley

Réduction rationnelle des endomorphismes → VII Décomposition de Jordan → VII-8 Exercice : décomposition de Jordan-Chevalley

Soit

A

une matrice de polynôme caractéristique

p

et soit

p_{1}

la partie « sans facteur carré » du polynôme

p

, c'est-à-dire le quotient de

p

et de son pgcd par le polynôme dérivé

p'

p

Soit $s$ un polynôme vérifiant $s \equiv x mod p_{1}$ et $p_{1} (s) \equiv 0 mod p$ . Montrer que le polynôme minimal de $S = s (A)$ divise $p_{1}$ et que $A - S$ est nilpotente et commute avec $S$ .
Solution
Les congruences se traduisent par $s = x + q_{1} p_{1}$ et $p_{1} (s) = q_{2} p$ avec deux polynômes $q_{1}$ et $q_{2}$ . Comme $p$ est le polynôme caractéristique de $A$ , on a $p (A) = 0$ , donc $p_{1} (S) = p_{1} (s (A)) = 0$ , ce qui signifie que le polynôme minimal de $S$ divise $p_{1}$ et que $S$ est semi-simple (diagonalisable sur $ℂ$ ) puisque $p_{1}$ n'a que des facteurs simples. D'autre part, $S - A = q_{1} (A) p_{1} (A)$ . Il existe une puissance $p_{1}^{n}$ de $p_{1}$ qui est divisible par $p$ . Donc $(S - A)^{n} = q_{1} (A)^{n} p_{1} (A)^{n} = 0$ et $S - A$ est nilpotente.

La décomposition $A = S + N$ est la décomposition de Dunford (Jordan-Chevalley) de la matrice $A$ .
Montrer qu'il existe un polynôme $d_{1}$ tel que $d_{1} p_{1}' \equiv 1 mod p$ .
Soit $q$ un polynôme. Montrer que $q (X + Y) \equiv q (X) + q' (X) Y mod Y^{2}$ .
On considère la suite de polynômes définis par $s_{0} = x$ , $s_{n}$ est le reste de la division euclidienne par $p$ de $s_{n - 1} - (p_{1} d_{1}) (s_{n - 1})$ (si $q_{1}$ , $q_{2}$ sont deux polynômes, $q_{1} (q_{2})$ est le composé de polynômes $q_{1} \circ q_{2}$ ). Montrer que $p_{1} (s_{n + 1}) \equiv 0 mod (p_{1} (s_{n}))^{2}$ , puis que $p_{1} (s_{n + 1}) \equiv 0 mod (p_{1} (x))^{2^{n}}$ .
En déduire que pour $n$ assez grand, $s = s_{n}$ vérifie $s \equiv x mod p_{1}$ et $p_{1} (s) \equiv 0 mod p$ (donner une estimation d'un tel $n$ ).
Solution
On a en utilisant la formule de Taylor que
$\begin{aligned} p_{1} (s_{n + 1}) & = p_{1} (s_{n} - p_{1} (s_{n}) d_{1} (s_{n})) \\ \equiv p_{1} (s_{n}) - p_{1} (s_{n}) d_{1} (s_{n}) p_{1}' (s_{n}) mod p_{1} (s_{n})^{2} \\ \equiv p_{1} (s_{n}) - p_{1} (s_{n}) mod p_{1} (s_{n})^{2} \\ \equiv 0 mod (p_{1} (s_{n}))^{2} \end{aligned}$
On en déduit par récurrence que
$p_{1} (s_{n}) \equiv 0 mod (p_{1} (x))^{2^{n}}$
En prenant $2^{n}$ supérieur à un entier $N$ tel que $p_{1}^{N}$ soit divisible par $p$ , on en déduit que $p_{1} (s_{N}) \equiv 0 mod p$ . On vérifie alors par récurrence que $s_{n} \equiv x mod p_{1}$ . $2^{n} > ° p / ° p_{1}$ doit convenir.
On prend $p = (x^{2} + x + 1)^{3} (x^{2} + 1)^{2}$ et $A$ une matrice de polynôme caractéristique égal au polynôme $p$ . Que vaut $p_{1}$ ? Combien de termes de la suite doit-on calculer a priori pour trouver les matrices $S$ et $N$ de la décomposition de Dunford de A ? Il n'est pas demandé de faire le calcul, mais de dire quelles opérations seront faites.
Solution
On a $p_{1} = (x^{2} + x + 1) (x^{2} + 1)$ . Comme $p_{1}^{3}$ est un multiple de $p_{1}$ , $p_{1} (s_{2}) \equiv 0 mod p$ . Donc il suffit de calculer $s_{2}$ . $s_{1} = x - p_{1} d_{1}$ , $s_{2} = s_{1} - p_{1} (s_{1}) d_{1} (s_{1})$ .

Exercice

Pratique de la décomposition de Jordan-Chevalley

VII-1 Réduction de Jordan
VII-2 Formes de Jordan possibles
VII-3 Dimension de la somme des espaces propres
VII-4 Exercice : décomposition de Dunford explicitement
VII-5 Exercice : comment calculer la matrice de Jordan d'un endomorphisme nilpotent
VII-6 Vecteurs propres
VII-7 Quelques exercices
VII-8 Exercice : décomposition de Jordan-Chevalley
VII-9 Endomorphisme cyclique et commutant
VII-10 Carré d'un endomorphisme

VII-9 Endomorphisme cyclique et commutant

Réduction rationnelle des endomorphismes → VII Décomposition de Jordan → VII-9 Endomorphisme cyclique et commutant

Proposition

Un endomorphisme

u

est cyclique si et seulement si les endomorphismes commutant avec

u

sont de la forme

P (u)

avec

P \in K [x]

Démonstration

De manière générale, les endomorphismes de la forme

P (u)

commutent avec

u

.
Supposons que

u

est cyclique. Il existe donc

a \in V

tel que

V = ⟨ a, u (a), \dots ⟩

. Soit

v

un endomorphisme commutant avec

u

. Le vecteur

v (a)

s'écrit

P (u) (a)

avec

P \in K [x]

puisque

V

est

u

-cyclique. Si

b \in V

, on a

b = Q (u) (a)

v (b) = v (Q (u) (a)) = Q (u) (v (a)) = Q (u) (P (u) (a)) = (P (u) Q (u) (a)) = P (u) (b) .

Donc

v = P (u)

.
Supposons que les endomorphismes commutant avec

u

sont de la forme

P (u)

.
Supposons que

V

n'est pas

u

-cyclique. On a alors une décomposition

V = V_{u, a} \oplus W

avec

W

stable par

u

avec

μ_{V, a} = μ_{u}

. La projection

p

V

sur

W

parallèlement à

V_{u, a}

commute avec

u

. En effet, si

b \in V_{u, a}

w \in W

, alors

u (b) \in V_{u, a}

u (w) \in W

p (u (b + w)) = p (u (b)) + p (u (w)) = u (w) = u (p (b + w))

Donc

p \circ u = u \circ p

. Par hypothèse, il existe

P \in K [x]

tel que

p = P (u)

. On a

p (a) = 0 = P (u) (a)

donc

P

est un multiple de

μ_{u, a} = μ_{u}

. On en déduit que

P (u) (c)

est nul pour tout

c \in V

p (c) = 0

. Donc

W = 0

VII-1 Réduction de Jordan
VII-2 Formes de Jordan possibles
VII-3 Dimension de la somme des espaces propres
VII-4 Exercice : décomposition de Dunford explicitement
VII-5 Exercice : comment calculer la matrice de Jordan d'un endomorphisme nilpotent
VII-6 Vecteurs propres
VII-7 Quelques exercices
VII-8 Exercice : décomposition de Jordan-Chevalley
VII-9 Endomorphisme cyclique et commutant
VII-10 Carré d'un endomorphisme

VII-10 Carré d'un endomorphisme

Réduction rationnelle des endomorphismes → VII Décomposition de Jordan → VII-10 Carré d'un endomorphisme

Exercice

Carré d'un endomorphisme nilpotent

Exercice

Soit

V

un espace vectoriel de dimension finie

n

u

un endomorphisme de

V

nilpotent et cyclique. Montrer que

V = V_{1} \oplus V_{2}

avec

V_{1}

V_{2}

deux sous-espaces vectoriels cycliques pour

u^{2}

de dimension respective

⌊ \frac{n}{2} ⌋

(entier inférieur le plus proche de

\frac{n}{2}

) et

⌈ \frac{n}{2} ⌉

(entier supérieur le plus proche de

\frac{n}{2}

).
Solution

Soit

v = u^{2}

. On a

\ker v^{i} = \ker u^{2 i}

. Comme V est

u

-cyclique et que

u

est nilpotent, on a

\dim \ker u^{i} = i

pour

i \leq n

. On en déduit que

\dim \ker v = 2

. Donc

v

est la somme de deux blocs de Jordan. On a ensuite

\dim \ker v^{2} = 2

, ...,

\dim \ker v^{k} = 2 k

2 k \leq n

. Les blocs de Jordan sont donc de taille

⌊ \frac{n}{2} ⌋

⌈ \frac{n}{2} ⌉

Soit

A

une matrice d'invariants de similitude

(x^{5}, x^{3}, x, x)

Donner les invariants de similitude de $A^{2}$ .
Solution
La matrice $A$ est nilpotente. Les dimensions successives des noyaux de $A$ sont 4, $4 + 2 = 6$ , $6 + 2 = 8$ , $8 + 1 = 9$ , $9 + 1 = 10$ . Les dimensions successives des noyaux de $A^{2}$ sont 6, 9, 10. La suite des $\dim \ker A^{2 i} - \dim \ker A^{2 (i - 1)}$ est 6, 3, 1. Les invariants de similitude de $A^{2}$ sont $(x^{3}, x^{2}, x^{2}, x, x, x)$ (question précédente appliquée à chacun des sous-espaces cycliques pour $A$ ou directement (3 = nombre de blocs de Jordan ; 2 = nombre de blocs de Jordan de taille $\geq 2$ , 2 = nombre de blocs de Jordan de taille $\geq 3$ , 1 = nombre de blocs de Jordan de taille $\geq 4$ , 1 = nombre de blocs de Jordan de taille $\geq 5$ , 1 = nombre de blocs de Jordan de taille $\geq 6$ .
On peut le voir plus facilement à l'aide des tableaux de Young :
$A$ :
$A^{2}$ :
Existe-t-il une matrice $B$ non semblable à $A$ dont le carré est semblable à $A^{2}$ ? Si oui, en donner les invariants de similitude.
Solution
La matrice d'invariants de similitude $(x^{5}, x^{3}, x^{2})$ convient.

On peut vérifier que ce sont les seuls invariants de similitude possible (cela se voit facilement en utilisant les diagrammes de Young).

VII-1 Réduction de Jordan
VII-2 Formes de Jordan possibles
VII-3 Dimension de la somme des espaces propres
VII-4 Exercice : décomposition de Dunford explicitement
VII-5 Exercice : comment calculer la matrice de Jordan d'un endomorphisme nilpotent
VII-6 Vecteurs propres
VII-7 Quelques exercices
VII-8 Exercice : décomposition de Jordan-Chevalley
VII-9 Endomorphisme cyclique et commutant
VII-10 Carré d'un endomorphisme

VIII Tous les exercices WIMS utilisés

Réduction rationnelle des endomorphismes → VIII Tous les exercices WIMS utilisés

Les exercices suivants se trouvent aussi au cours du texte.

Endomorphismes et projecteurs
Polynômes d'endomorphismes et projecteurs
Sous-espaces cycliques et invariants
Nombre de classes de similitude I
Nombre de classes de similitude II
Nombre de classes de similitude III
Diagonalisable ?
Trouver un vecteur propre
Matrice diagonalisable ?
Trouver un vecteur propre
Matrice diagonalisable ? Peut-on conclure
Petit QCM sur la diagonalisation
Matrices nilpotentes et tableaux de Young
Partitions et décomposition de Jordan
Pratique de Jordan
Matrice de Jordan et noyaux itérés
Partitions et décomposition de Jordan
Jordan et invariants de similitude
Pratique de la décomposition de Jordan-Chevalley
Carré d'un endomorphisme nilpotent

I Polynômes d'endomorphismes
II Sous-espaces stables
III Sous-espaces cycliques
IV Dualité
V Facteurs invariants et décomposition rationnelle (Frobenius)
VI Diagonalisation et trigonalisation
VII Décomposition de Jordan
VIII Tous les exercices WIMS utilisés

document sur la réduction rationnelle des endomorphismes.
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